Nos problemas de 1 a 10 , encontre a solução geral da equação dife-
rencial dada.
rencial dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial que precisa ser resolvida. A equação é:
Estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações homogêneas e soluções particulares.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 16 para facilitar os cálculos:
Simplificando as frações:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a equação para destacar o lado homogêneo e o não homogêneo:
Aqui, a parte à esquerda é a equação homogênea, e o lado direito representa a parte não homogênea.
Passo 4
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
Para isso, assumimos que a solução é da forma
. Substituindo na equação:
Dividindo por
(que nunca é zero):
Passo 5
Vamos encontrar as raízes dessa equação característica:
Fatorando:
Então, as raízes são:
Passo 6
Com essas raízes, a solução geral da equação homogênea é:
Simplificando:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 7
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Como o lado direito é uma constante, vamos tentar uma solução particular também constante, ou seja,
, onde
é uma constante a ser determinada.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Isso nos dá:
O que não faz sentido! Isso significa que nossa suposição inicial está errada. Quando isso acontece, multiplicamos nossa tentativa por
. Então, tentamos:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Resolvendo para
:
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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