Nos problemas de 1 a 10 , encontre a solução geral da equação dife-
rencial dada.

Passo 1

Beleza! A gente precisa resolver a equação diferencial . Isso faz parte do conteúdo de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar o método da equação característica, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação característica associada à equação diferencial. A equação diferencial dada é:
A equação característica corresponde a:
Aqui, representa as raízes que vamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática para encontrar os valores de . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde , e .

Passo 4

Aplicando os valores na fórmula:
Então, temos duas soluções para :

Passo 5

Com as raízes e , podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é dada por:
Substituindo os valores de e :
Onde e são constantes que determinam a solução específica dependendo das condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
Nos problemas de 1 a 10 , encontre a solução geral da equação dife-
rencial dada.
Nos problemas de 11 a 14 , resolva o problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando cresce.
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