Nos problemas de 1 a 10 , encontre a solução geral da equação dife-
rencial dada.
rencial dada.
Passo 1
Beleza! A gente precisa resolver a equação diferencial
. Isso faz parte do conteúdo de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar o método da equação característica, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação característica associada à equação diferencial. A equação diferencial dada é:
A equação característica corresponde a:
Aqui,
representa as raízes que vamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática
para encontrar os valores de
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
.
Passo 4
Aplicando os valores na fórmula:
Então, temos duas soluções para
:
Passo 5
Com as raízes
e
, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é dada por:
Substituindo os valores de
e
:
Onde
e
são constantes que determinam a solução específica dependendo das condições iniciais.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Aplique o teorema da mudança de variáveis para calcular o volume do toro.
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
Nos problemas de 1 a 10 , encontre a solução geral da equação dife-
rencial dada.
rencial dada.
Nos problemas de 11 a 14 , resolva o problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando
cresce.
,