Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
f(x, y, z) = 1 / raiz(x^2 + y^2 + z^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre derivadas parciais. Vamos precisar usar a regra da cadeia para derivar essa função em relação a cada variável: , e .

Passo 2

Vamos começar encontrando a derivada parcial de em relação a , que é notada por .
Primeiro, reescrevemos a função para facilitar a derivação:
Agora, aplicamos a regra da potência e a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , e a derivada de em relação a é .
Então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , .
Usando o mesmo raciocínio:
Aplicamos a regra da potência e a regra da cadeia:

Passo 4

Por fim, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , .
Novamente, seguimos o mesmo processo:
Aplicando a regra da potência e da cadeia:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

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