Aplique o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação
tem três raízes reais distintas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação
tem três raízes reais distintas. Isso envolve entender como a função se comporta em diferentes intervalos e identificar onde ela cruza o eixo x.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função que está na equação:
O Teorema do Valor Intermediário diz que se uma função é contínua em um intervalo [a, b] e o valor
está entre
e
, então existe pelo menos um
em [a, b] tal que
. Como queremos
, vamos procurar intervalos onde a função muda de sinal.
Passo 3
Vamos calcular o valor da função em alguns pontos para identificar onde ela muda de sinal:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 4
Agora, analisando os sinais:
-
Entre
e , a função passa de negativo (-14) para positivo (1). Então, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz nesse intervalo. -
Entre
e , a função passa de positivo (1) para negativo (-2). Isso indica outra raiz nesse intervalo. -
Entre
e , a função volta de negativo (-2) para positivo (1), indicando uma terceira raiz.
Passo 5
Como identificamos três intervalos diferentes onde a função muda de sinal e, consequentemente, tem pelo menos uma raiz em cada um, podemos concluir que a equação
possui três raízes reais distintas.
Resposta
A equação
tem três raízes reais distintas.
Exercícios relacionados
Calcule os limites abaixo.
(q)
(q)
Calcule os limites abaixo.
(j)
(j)
Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias.
Calcule os limites abaixo. Caso seja necessário calcule os limites laterais.
(i)
(i)