Aplique o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação tem três raízes reais distintas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação tem três raízes reais distintas. Isso envolve entender como a função se comporta em diferentes intervalos e identificar onde ela cruza o eixo x.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função que está na equação:
O Teorema do Valor Intermediário diz que se uma função é contínua em um intervalo [a, b] e o valor está entre e , então existe pelo menos um em [a, b] tal que . Como queremos , vamos procurar intervalos onde a função muda de sinal.

Passo 3

Vamos calcular o valor da função em alguns pontos para identificar onde ela muda de sinal:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 4

Agora, analisando os sinais:
  • Entre e , a função passa de negativo (-14) para positivo (1). Então, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
  • Entre e , a função passa de positivo (1) para negativo (-2). Isso indica outra raiz nesse intervalo.
  • Entre e , a função volta de negativo (-2) para positivo (1), indicando uma terceira raiz.

Passo 5

Como identificamos três intervalos diferentes onde a função muda de sinal e, consequentemente, tem pelo menos uma raiz em cada um, podemos concluir que a equação possui três raízes reais distintas.

Resposta

A equação tem três raízes reais distintas.

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