Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária
. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de segunda ordem e conteúdo de resolução de equações lineares não homogêneas. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A forma geral da solução depende das raízes da equação característica.
Passo 3
A equação característica para
é
. Resolvendo para
:
Passo 4
Como as raízes são complexas (
), a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Para isso, usamos o método dos coeficientes a determinar. Suponhamos que a solução particular tenha a forma:
onde
é uma constante que precisamos encontrar.
Passo 6
Calculamos as derivadas de
:
Passo 7
Substituímos
e suas derivadas na equação original:
Igualando ao lado direito da equação
:
Passo 8
Assim, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Aplique o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação
tem três raízes reais distintas.
Calcule os limites abaixo.
(q)
(q)
Calcule os limites abaixo. Caso seja necessário calcule os limites laterais.
(i)
(i)
Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias.