Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária . Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de segunda ordem e conteúdo de resolução de equações lineares não homogêneas. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A forma geral da solução depende das raízes da equação característica.

Passo 3

A equação característica para é . Resolvendo para :

Passo 4

Como as raízes são complexas ( ), a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Para isso, usamos o método dos coeficientes a determinar. Suponhamos que a solução particular tenha a forma:
onde é uma constante que precisamos encontrar.

Passo 6

Calculamos as derivadas de :

Passo 7

Substituímos e suas derivadas na equação original:
Igualando ao lado direito da equação :

Passo 8

Assim, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Aplique o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação tem três raízes reais distintas.
Calcule os limites abaixo.
(q)
Calcule os limites abaixo. Caso seja necessário calcule os limites laterais.
(i)
Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias.