Calcule os limites abaixo.
(q) lim x +infty 3raizx+4-raizx-2

Passo 1

Vamos calcular o limite . Esse problema envolve o estudo de limites no infinito, especificamente com funções que contêm radicais. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de álgebra para simplificar a expressão e entender o comportamento dela conforme cresce sem limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador . Uma boa estratégia aqui é racionalizar o denominador, ou seja, multiplicar e dividir a expressão pelo conjugado do denominador. O conjugado de é .

Passo 3

Multiplicamos o numerador e o denominador por 3raizx+4 - raizx-2 times raizx+4 + raizx-2raizx+4 + raizx-2 = 3(raizx+4 + raizx-2)(raizx+4)^2 - (raizx-2)^2 :

Passo 4

Simplificamos o denominador usando a identidade (raizx+4)^2 - (raizx-2)^2 = (x+4) - (x-2) = 6 :
3(raizx+4 + raizx-2)6 = raizx+4 + raizx-22
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora, analisamos o comportamento da expressão raizx+4 + raizx-22 approx raizx + raizx2 = 2raizx2 = raizx quando tende a . Quando é muito grande, tanto quanto são aproximadamente . Portanto:

Passo 6

Finalmente, calculamos o limite de limx +infty raizx = +infty quando tende a :

Resposta

O limite é .

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