Calcule os limites abaixo.
(j) lim x +infty raizx+1raizx^2+2

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse problema está relacionado ao cálculo de limites no infinito envolvendo funções com raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão e analisar o comportamento de cada parte conforme cresce sem limite.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dividindo tanto o numerador quanto o denominador por raizx+1raizx^2+2 = raizx (1 + 1x)raizx^2 (1 + 2x^2) = raizx cdot raiz1 + 1xx cdot raiz1 + 2x^2 . Isso ajuda a entender como cada termo se comporta quando tende ao infinito.

Passo 3

Agora, simplificamos a expressão dividindo raizxx = 1raizx por 1raizx cdot raiz1 + 1xraiz1 + 2x^2 :
Então, a expressão fica:

Passo 4

À medida que raiz1 + 1x approx raiz1 + 0 = 1 tende ao infinito, raiz1 + 2x^2 approx raiz1 + 0 = 1 e tendem a zero. Portanto:

Passo 5

Substituindo esses valores na expressão, temos:
1raizx cdot 11 = 1raizx

Passo 6

Finalmente, ao calcular o limite quando limx to +infty 1raizx = 0 tende ao infinito:

Resposta

O limite é igual a .

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