Aplique o teste dos caminhos nos limites abaixo: lim (x, y) (0,0) x^4-y^4x^4+y^2

Passo 1

Vamos analisar o limite da função lim (x, y) (0,0) x^4-y^4x^4+y^2 usando o Teste dos Caminhos. Esse teste ajuda a determinar se o limite existe verificando se o resultado é o mesmo quando nos aproximamos do ponto (0,0) por diferentes caminhos. Precisamos escolher caminhos simples e calcular o limite em cada um deles.

Passo 2

Caminho 1: Aproximando-se ao longo do eixo x (y = 0)
Substituímos y = 0 na função:
limx to 0 x^4 - 0^4x^4 + 0^2 = limx to 0 x^4x^4 = limx to 0 1 = 1
Caminho 2: Aproximando-se ao longo do eixo y (x = 0)
Substituímos x = 0 na função:
limy to 0 0^4 - y^40^4 + y^2 = limy to 0 -y^4y^2 = limy to 0 -y^2 = 0

Resposta

Como os limites obtidos pelos caminhos y=0 e x=0 são diferentes (1 e 0, respectivamente), concluímos que o limite geral não existe.

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