Defina
de maneira que
seja contínua na origem:
Passo 1
Beleza, temos uma função
e queremos definir
de forma que a função seja contínua na origem. Vamos usar o conceito de continuidade em funções de duas variáveis, que basicamente diz que o limite da função quando
se aproxima de
deve ser igual ao valor da função nesse ponto. Para isso, vamos calcular o limite de
quando
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que para verificar a continuidade, precisamos que
exista. Se esse limite existir e for igual a um valor
, então podemos definir
.
Passo 3
Para calcular o limite, uma técnica útil em funções de duas variáveis é mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
onde
é a distância até a origem e
é o ângulo.
Passo 4
Substituindo
e
na função:
Simplificando o denominador, já que
:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando
:
Como
tende a 0 e os termos
e
são limitados (valem entre -1 e 1), o produto inteiro tende a 0.
Resposta
Para que a função
seja contínua na origem, devemos definir
.
Exercícios relacionados
Use a Regra da Cadeia para determinar
ou
.
Aplique o teste dos caminhos nos limites abaixo:
Resolva as equações:
© .
©
Considere a seguinte equação diferencial:
(a) Mostre que a equação diferencial (1.31) não é exata e que
é um fator integrante da mesma.