Defina f(0, 0) de maneira que f(x, y) seja contínua na origem: f(x, y) = 2xy^2 / (x^2 + y^2)

Passo 1

Beleza, temos uma função e queremos definir de forma que a função seja contínua na origem. Vamos usar o conceito de continuidade em funções de duas variáveis, que basicamente diz que o limite da função quando se aproxima de deve ser igual ao valor da função nesse ponto. Para isso, vamos calcular o limite de quando .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que para verificar a continuidade, precisamos que exista. Se esse limite existir e for igual a um valor , então podemos definir .

Passo 3

Para calcular o limite, uma técnica útil em funções de duas variáveis é mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
onde é a distância até a origem e é o ângulo.

Passo 4

Substituindo e na função:
Simplificando o denominador, já que :

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando :
Como tende a 0 e os termos e são limitados (valem entre -1 e 1), o produto inteiro tende a 0.

Resposta

Para que a função seja contínua na origem, devemos definir .

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