Defina de maneira que seja contínua na origem:

Passo 1

Beleza, temos uma função e queremos definir de forma que a função seja contínua na origem. Vamos usar o conceito de continuidade em funções de duas variáveis, que basicamente diz que o limite da função quando se aproxima de deve ser igual ao valor da função nesse ponto. Para isso, vamos calcular o limite de quando .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que para verificar a continuidade, precisamos que exista. Se esse limite existir e for igual a um valor , então podemos definir .

Passo 3

Para calcular o limite, uma técnica útil em funções de duas variáveis é mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
onde é a distância até a origem e é o ângulo.

Passo 4

Substituindo e na função:
Simplificando o denominador, já que :

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando :
Como tende a 0 e os termos e são limitados (valem entre -1 e 1), o produto inteiro tende a 0.

Resposta

Para que a função seja contínua na origem, devemos definir .

Exercícios relacionados

Use a Regra da Cadeia para determinar ou .
Aplique o teste dos caminhos nos limites abaixo:
Resolva as equações:
© .
Considere a seguinte equação diferencial:
(a) Mostre que a equação diferencial (1.31) não é exata e que é um fator integrante da mesma.