Use a Regra da Cadeia para determinar d z / d t ou d w / d t.
z = 6 x^3 - 3 x y + 2 y^2, x = e^t, y = cos(t)

Passo 1

Primeiramente, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que depende de e , onde e também dependem de . O objetivo é encontrar a derivada de em relação a , ou seja, , utilizando a Regra da Cadeia.
Conteúdo da matéria: Regra da Cadeia em cálculo diferencial.
O que vamos precisar:
  • Conhecer as funções , e .
  • Aplicar a Regra da Cadeia para derivar em relação a .

Passo 2

Vamos começar escrevendo todas as funções que temos:

Passo 3

A Regra da Cadeia nos ajuda a encontrar a derivada de uma função composta. No nosso caso, é uma função de e , que por sua vez são funções de . A fórmula da Regra da Cadeia para é:

Passo 4

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 5

Agora, vamos derivar e em relação a .

Passo 6

Substituímos todas as derivadas na fórmula da Regra da Cadeia:

Passo 7

Agora, substituímos e na expressão:

Passo 8

Simplificamos a expressão:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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