Use a Regra da Cadeia para determinar
ou
.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, onde:
Para resolver isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que é uma técnica de derivação para funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como
depende de
. Observamos que
é uma função de
e
, e tanto
quanto
são funções de
. Portanto, precisamos relacionar todas essas dependências usando a Regra da Cadeia.
Passo 3
A Regra da Cadeia nos diz que:
Isso significa que vamos derivar
em relação a
e
, e depois multiplicar pelas derivadas de
e
em relação a
.
Passo 4
Vamos calcular
. Como
:
Essa é a derivada da função logarítmica em relação a
.
Passo 5
Agora, calculamos
. Novamente, usando
:
Aqui aplicamos a derivada da função logarítmica em relação a
e a regra da potência para
.
Passo 6
Vamos encontrar
. Dado que
, podemos escrever como
. Derivando em relação a
:
Passo 7
Agora, encontramos
. Como
, ou seja,
, a derivada será:
Passo 8
Finalmente, substituímos todos esses resultados na Regra da Cadeia:
Podemos simplificar um pouco:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Use o teorema do confronto para calcular os limites abaixo:
Use a Regra da Cadeia para determinar
ou
.
Aplique o teste dos caminhos nos limites abaixo:
Use a Regra da Cadeia para determinar
ou
.