Use a Regra da Cadeia para determinar ou .

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a derivada de em relação a , onde:
Para resolver isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que é uma técnica de derivação para funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como depende de . Observamos que é uma função de e , e tanto quanto são funções de . Portanto, precisamos relacionar todas essas dependências usando a Regra da Cadeia.

Passo 3

A Regra da Cadeia nos diz que:
Isso significa que vamos derivar em relação a e , e depois multiplicar pelas derivadas de e em relação a .

Passo 4

Vamos calcular . Como :
Essa é a derivada da função logarítmica em relação a .

Passo 5

Agora, calculamos . Novamente, usando :
Aqui aplicamos a derivada da função logarítmica em relação a e a regra da potência para .

Passo 6

Vamos encontrar . Dado que , podemos escrever como . Derivando em relação a :

Passo 7

Agora, encontramos . Como , ou seja, , a derivada será:

Passo 8

Finalmente, substituímos todos esses resultados na Regra da Cadeia:
Podemos simplificar um pouco:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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Use o teorema do confronto para calcular os limites abaixo:
Use a Regra da Cadeia para determinar ou .
Aplique o teste dos caminhos nos limites abaixo:
Use a Regra da Cadeia para determinar ou .