Use o teorema do confronto para calcular os limites abaixo:

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. A questão nos apresenta um limite de uma função de duas variáveis:

O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de limites multivariáveis e o uso do Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem). Para resolver isso, vamos precisar entender como restringir a função entre duas outras funções cujo limite conhecemos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte da função que pode ser complicada: . Sabemos que para qualquer valor de , o seno satisfaz:

Elevando ao quadrado ambos os lados, temos:
Isso nos ajuda a simplificar a função original.

Passo 3

Substituindo por na função original, temos:

Agora, queremos encontrar um limite para quando .

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão. Note que:

Aqui, cancelamos no numerador e denominador, já que .

Passo 5

Agora, sabemos que:

Queremos usar o Teorema do Confronto, que nos diz que se uma função está “presa” entre duas funções que têm o mesmo limite, então a função também tem esse limite.

Passo 6

Calculando os limites das funções que restringem a nossa:

Ambos os limites são iguais a 0.

Passo 7

Pelo Teorema do Confronto, como nossa função está entre 0 e , e ambos os limites desses limites são 0, concluímos que:

Resposta

O limite é igual a 0.

Exercícios relacionados

Use a Regra da Cadeia para determinar ou .
Determine e .
Use a Regra da Cadeia para determinar ou .
Aplique o teste dos caminhos nos limites abaixo: