Use o teorema do confronto para calcular os limites abaixo: lim (x, y) (0,0) x^2 sin ^2 yx^2+2 y^2

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. A questão nos apresenta um limite de uma função de duas variáveis:
lim (x, y) (0,0) x^2 sin ^2 yx^2+2 y^2
O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de limites multivariáveis e o uso do Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem). Para resolver isso, vamos precisar entender como restringir a função entre duas outras funções cujo limite conhecemos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte da função que pode ser complicada: |sin y| <= |y|. Sabemos que para qualquer valor de sin^2 y <= y^2, o seno satisfaz:

Elevando ao quadrado ambos os lados, temos:
Isso nos ajuda a simplificar a função original.

Passo 3

Substituindo x^2 sin ^2 yx^2+2 y^2 <= x^2 y^2x^2+2 y^2 por na função original, temos:

Agora, queremos encontrar um limite para quando .

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão. Note que:
x^2 y^2x^2+2 y^2 <= x^2 y^2x^2 = y^2
Aqui, cancelamos no numerador e denominador, já que .

Passo 5

Agora, sabemos que:
0 <= x^2 sin ^2 yx^2+2 y^2 <= y^2
Queremos usar o Teorema do Confronto, que nos diz que se uma função está “presa” entre duas funções que têm o mesmo limite, então a função também tem esse limite.

Passo 6

Calculando os limites das funções que restringem a nossa:
lim (x, y) (0,0) 0 = 0
lim (x, y) (0,0) y^2 = 0
Ambos os limites são iguais a 0.

Passo 7

Pelo Teorema do Confronto, como nossa função está entre 0 e lim (x, y) (0,0) x^2 sin ^2 yx^2+2 y^2 = 0, e ambos os limites desses limites são 0, concluímos que:

Resposta

O limite é igual a 0.

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