Use o teorema do confronto para calcular os limites abaixo:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. A questão nos apresenta um limite de uma função de duas variáveis:
O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de limites multivariáveis e o uso do Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem). Para resolver isso, vamos precisar entender como restringir a função entre duas outras funções cujo limite conhecemos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a parte da função que pode ser complicada:
. Sabemos que para qualquer valor de
, o seno satisfaz:
Elevando ao quadrado ambos os lados, temos:
Isso nos ajuda a simplificar a função original.
Passo 3
Substituindo
por
na função original, temos:
Agora, queremos encontrar um limite para
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão. Note que:
Aqui, cancelamos
Passo 5
Agora, sabemos que:
Queremos usar o Teorema do Confronto, que nos diz que se uma função está “presa” entre duas funções que têm o mesmo limite, então a função também tem esse limite.
Passo 6
Calculando os limites das funções que restringem a nossa:
Ambos os limites são iguais a 0.
Passo 7
Pelo Teorema do Confronto, como nossa função está entre 0 e
, e ambos os limites desses limites são 0, concluímos que:
Resposta
O limite é igual a 0.
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Use a Regra da Cadeia para determinar
ou
.
Determine
e
.
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ou
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Aplique o teste dos caminhos nos limites abaixo: