Aplique o teste da comparação para determinar a convergência da série .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para aplicar o teste da comparação e descobrir se a série converge. Aqui, estamos trabalhando com séries infinitas e usando o teste da comparação, que nos ajuda a comparar essa série com outra que já sabemos se converge ou diverge. Vamos precisar entender como funciona o teste da comparação e identificar uma série conhecida para fazer essa comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da comparação. Ele diz que se temos duas séries e , e se para todo , e sabemos que converger, então também converge. Ou seja, queremos encontrar uma série maior que nossa série original e que sabemos que ela converge.

Passo 3

Agora, vamos analisar os termos da nossa série . Sabemos que (fatorial de ) cresce muito rápido conforme aumenta, mais rápido do que qualquer potência de . Por outro lado, cresce exponencialmente. Mas, neste caso, o crescimento de vai dominando o crescimento de , fazendo com que os termos fiquem cada vez menores.

Passo 4

Para aplicar o teste da comparação, vamos comparar nossa série com a série . No entanto, essa série diverge, então não serve para nossa comparação. Em vez disso, vamos pensar em uma série conhecida que converge, como a série geométrica , que sabemos que converge porque a razão é .

Passo 5

Vamos agora comparar os termos. Observamos que para todo , temos:
Mas isso não é útil porque a série diverge. Precisamos de uma comparação melhor. Notamos que para , . Então, podemos afirmar que:
Mas, na verdade, para , , que é a nossa série geométrica convergente.

Passo 6

Como vimos que para , e a série converge, pelo teste da comparação, nossa série também converge.

Resposta

A série converge pelo teste da comparação.

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Qual o tempo necessário para que a amostra possua massa de 1 grama? Dica: Use a função obtida no item anterior.
Se você souber que é independente do caminho, o que poderá dizer sobre ?
Use o teste da comparação para verificar a convergência de .