Aplique o teste da comparação para determinar a convergência da série
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para aplicar o teste da comparação e descobrir se a série
converge. Aqui, estamos trabalhando com séries infinitas e usando o teste da comparação, que nos ajuda a comparar essa série com outra que já sabemos se converge ou diverge. Vamos precisar entender como funciona o teste da comparação e identificar uma série conhecida para fazer essa comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da comparação. Ele diz que se temos duas séries
e
, e se
para todo
, e sabemos que
converger, então
também converge. Ou seja, queremos encontrar uma série
maior que nossa série original e que sabemos que ela converge.
Passo 3
Agora, vamos analisar os termos da nossa série
. Sabemos que
(fatorial de
) cresce muito rápido conforme
aumenta, mais rápido do que qualquer potência de
. Por outro lado,
cresce exponencialmente. Mas, neste caso, o crescimento de
vai dominando o crescimento de
, fazendo com que os termos
fiquem cada vez menores.
Passo 4
Para aplicar o teste da comparação, vamos comparar nossa série com a série
. No entanto, essa série diverge, então não serve para nossa comparação. Em vez disso, vamos pensar em uma série conhecida que converge, como a série geométrica
, que sabemos que converge porque a razão é
.
Passo 5
Vamos agora comparar os termos. Observamos que para todo
, temos:
Mas isso não é útil porque a série
diverge. Precisamos de uma comparação melhor. Notamos que para
,
. Então, podemos afirmar que:
Mas, na verdade, para
,
, que é a nossa série geométrica convergente.
Passo 6
Como vimos que para
,
e a série
converge, pelo teste da comparação, nossa série
também converge.
Resposta
A série
converge pelo teste da comparação.