Aplique o teste da comparação para determinar a convergência da série sumn=1^infty 2^nn!.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para aplicar o teste da comparação e descobrir se a série sumn=1^infty 2^nn! converge. Aqui, estamos trabalhando com séries infinitas e usando o teste da comparação, que nos ajuda a comparar essa série com outra que já sabemos se converge ou diverge. Vamos precisar entender como funciona o teste da comparação e identificar uma série conhecida para fazer essa comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da comparação. Ele diz que se temos duas séries sum an e sum bn, e se 0 <= an <= bn para todo n, e sabemos que sum bn converger, então sum an também converge. Ou seja, queremos encontrar uma série sum bn maior que nossa série original e que sabemos que ela converge.

Passo 3

Agora, vamos analisar os termos da nossa série 2^nn!. Sabemos que n! (fatorial de n) cresce muito rápido conforme n aumenta, mais rápido do que qualquer potência de n. Por outro lado, 2^n cresce exponencialmente. Mas, neste caso, o crescimento de n! vai dominando o crescimento de 2^n, fazendo com que os termos 2^nn! fiquem cada vez menores.

Passo 4

Para aplicar o teste da comparação, vamos comparar nossa série com a série sum 2^n2^n = sum 1. No entanto, essa série diverge, então não serve para nossa comparação. Em vez disso, vamos pensar em uma série conhecida que converge, como a série geométrica sum 12^n, que sabemos que converge porque a razão é 12 < 1.

Passo 5

Vamos agora comparar os termos. Observamos que para todo n >= 1, temos:
2^nn! <= 2^n2^n = 1
Mas isso não é útil porque a série sum 1 diverge. Precisamos de uma comparação melhor. Notamos que para n >= 4, n! >= 2^n. Então, podemos afirmar que:
2^nn! <= 2^n2^n = 1
Mas, na verdade, para n >= 4, 2^nn! <= 12^n, que é a nossa série geométrica convergente.

Passo 6

Como vimos que para n >= 4, 2^nn! <= 12^n e a série sum 12^n converge, pelo teste da comparação, nossa série sum 2^nn! também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 2^nn! converge pelo teste da comparação.

Exercícios relacionados