Aplique o teste da comparação para determinar a convergência da série
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para aplicar o teste da comparação e descobrir se a série
converge. Aqui, estamos trabalhando com séries infinitas e usando o teste da comparação, que nos ajuda a comparar essa série com outra que já sabemos se converge ou diverge. Vamos precisar entender como funciona o teste da comparação e identificar uma série conhecida para fazer essa comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da comparação. Ele diz que se temos duas séries
e
, e se
para todo
, e sabemos que
converger, então
também converge. Ou seja, queremos encontrar uma série
maior que nossa série original e que sabemos que ela converge.
Passo 3
Agora, vamos analisar os termos da nossa série
. Sabemos que
(fatorial de
) cresce muito rápido conforme
aumenta, mais rápido do que qualquer potência de
. Por outro lado,
cresce exponencialmente. Mas, neste caso, o crescimento de
vai dominando o crescimento de
, fazendo com que os termos
fiquem cada vez menores.
Passo 4
Para aplicar o teste da comparação, vamos comparar nossa série com a série
. No entanto, essa série diverge, então não serve para nossa comparação. Em vez disso, vamos pensar em uma série conhecida que converge, como a série geométrica
, que sabemos que converge porque a razão é
.
Passo 5
Vamos agora comparar os termos. Observamos que para todo
, temos:
Mas isso não é útil porque a série
diverge. Precisamos de uma comparação melhor. Notamos que para
,
. Então, podemos afirmar que:
Mas, na verdade, para
,
, que é a nossa série geométrica convergente.
Passo 6
Como vimos que para
,
e a série
converge, pelo teste da comparação, nossa série
também converge.
Resposta
A série
converge pelo teste da comparação.
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Um elemento bomba, capaz de destruir a casa que Tião Macalé morou em 1952, tem uma meia vida (tempo em que sua massa se reduz pela metade) de 15 horas. Uma amostra desse elemento possui uma massa inicial m de 10 gramas. Faça o que se pede:
Qual o tempo necessário para que a amostra possua massa de 1 grama? Dica: Use a função obtida no item anterior.
Qual o tempo necessário para que a amostra possua massa de 1 grama? Dica: Use a função obtida no item anterior.
Se você souber que
é independente do caminho, o que poderá dizer sobre
?
Use o teste da comparação para verificar a convergência de
.