Um elemento bomba, capaz de destruir a casa que Tião Macalé morou em 1952, tem uma meia vida (tempo em que sua massa se reduz pela metade) de 15 horas. Uma amostra desse elemento possui uma massa inicial m de 10 gramas. Faça o que se pede:
Qual o tempo necessário para que a amostra possua massa de 1 grama? Dica: Use a função obtida no item anterior.
Qual o tempo necessário para que a amostra possua massa de 1 grama? Dica: Use a função obtida no item anterior.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um elemento que perde sua massa pela metade a cada 15 horas, aquele lance de meia-vida. Começamos com 10 gramas e queremos saber quanto tempo leva pra ficar só 1 grama. Vamos usar a matéria de decadência exponencial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da meia-vida. Ela descreve como a quantidade de uma substância diminui ao longo do tempo. A fórmula é:
Onde:
-
é a massa no tempo , -
é a massa inicial, -
é o tempo de meia-vida.
Passo 3
Agora, vamos substituir os valores que a gente tem na fórmula. Sabemos que:
- Massa inicial
gramas, - Massa final
grama, - Meia-vida
horas.
Então, temos:
Passo 4
Vamos resolver essa equação para encontrar
. Primeiro, dividimos os dois lados por 10:
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para poder isolar
:
Resolvendo para
:
Calculando os logaritmos:
Resposta
O tempo necessário para que a amostra passe de 10 gramas para 1 grama é aproximadamente 49,83 horas.
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.