Aplique o teste
aos conjuntos de dados que seguem para determinar se resultados anômalos devem ser mantidos ou rejeitados a um nível de confiança de
.
(a) 41,
(b) 7,295; 7,284; 7, 388; 7,292
Supondo que queiramos estimar o número de grãos de feijão em um quilograma e que medimos a massa de um único grão que deu
. Admitindo que já conhecemos o desvio padrão da população (
). A partir desses dados construa o intervalo de confiança para o número de grãos com
de confiança.
(a) 41,
(b) 7,295; 7,284; 7, 388; 7,292
Supondo que queiramos estimar o número de grãos de feijão em um quilograma e que medimos a massa de um único grão que deu
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas partes:
Parte (a): Aplicar o teste Q nos conjuntos de dados fornecidos para ver se há resultados anômalos que devemos manter ou rejeitar, com um nível de confiança de 95%.
Parte (b): Estimar o número de grãos de feijão em um quilograma, sabendo a massa de um único grão e o desvio padrão da população, construindo um intervalo de confiança de 95%.
Para resolver isso, vamos precisar entender o Teste Q para detectar valores discrepantes e intervalos de confiança para estimar parâmetros populacionais.
Passo 2
Vamos começar com a Parte (a) e aplicar o Teste Q nos conjuntos de dados fornecidos. O Teste Q ajuda a identificar se um valor é um outlier (anômalo) em um pequeno conjunto de dados.
Passo 3
Passo a passo do Teste Q:
- Ordene os dados do menor para o maior.
- Calcule a diferença entre o valor suspeito e o valor mais próximo.
- Divida essa diferença pelo alcance total dos dados (diferença entre o maior e o menor valor).
- Compare o resultado com o valor crítico da tabela Q para o tamanho do conjunto de dados e nível de confiança de 95%.
Se o Q calculado for maior que o Q crítico, o valor é considerado um outlier e deve ser rejeitado; caso contrário, é mantido.
Passo 4
Vamos aplicar isso aos nossos conjuntos de dados.
(a) Conjunto 1: 41,27; 41,61; 41,84; 41,70
- Ordenando: 41,27; 41,61; 41,70; 41,84
- Vamos verificar o menor valor, 41,27, como possível outlier.
- Diferença entre 41,27 e 41,61: 0,34
- Alcance: 41,84 - 41,27 = 0,57
- Q calculado: 0,34 / 0,57 ≈ 0,596
Agora, consultando a tabela Q para n=4 e confiança de 95%, o Q crítico é aproximadamente 0,765.
Como 0,596 < 0,765, não rejeitamos 41,27 como outlier.
(a) Conjunto 2: 7,295; 7,284; 7,388; 7,292
- Ordenando: 7,284; 7,292; 7,295; 7,388
- Verificando o maior valor, 7,388:
- Diferença entre 7,388 e 7,295: 0,093
- Alcance: 7,388 - 7,284 = 0,104
- Q calculado: 0,093 / 0,104 ≈ 0,894
Comparando com o Q crítico de 0,765:
Como 0,894 > 0,765, rejeitamos 7,388 como outlier.
Passo 5
Agora, vamos para a Parte (b), onde queremos estimar o número de grãos de feijão em um quilograma.
Temos:
- Massa de um grão: 0,1188 g
- Desvio padrão da população: σ = 0,0363 g
- Queremos um intervalo de confiança de 95% para o número de grãos.
Para isso, usamos a fórmula do intervalo de confiança para a média:
Mas como queremos o número de grãos, vamos rearranjar para encontrar n.
Passo 6
Vamos considerar que 1 kg = 1000 g. Então, o número estimado de grãos (n) é:
Para o intervalo de confiança, precisamos calcular a margem de erro.
Passo 7
A margem de erro (E) é dada por:
Para 95% de confiança, o valor de Z é aproximadamente 1,96.
Calculando E:
Isso significa que o intervalo de confiança para a massa total é 1000 g ± 0,776 g.
Passo 8
Agora, para encontrar o intervalo de confiança para o número de grãos, invertemos a relação:
Calculando os limites:
Resposta
(a) No primeiro conjunto de dados (41,27; 41,61; 41,84; 41,70), não há valores anômalos e todos os resultados devem ser mantidos. No segundo conjunto (7,295; 7,284; 7,388; 7,292), o valor 7,388 é um outlier e deve ser rejeitado.
(b) O intervalo de confiança para o número de grãos de feijão em um quilograma, com 95% de confiança, é entre aproximadamente 8370 e 8475 grãos.
Exercícios relacionados
Considere os seguintes conjuntos de réplicas de medidas:
|
|
*C | D | *E | F |
---|---|---|---|---|---|
3,5 | 70,24 | 0,812 | 2,7 | 70,65 | 0,514 |
3,1 | 70,22 | 0,792 | 3,0 | 70,63 | 0,503 |
3,1 | 70,10 | 0,794 | 2,6 | 70,64 | 0,486 |
3,3 | 0,900 | 2,8 | 70,21 | 0,497 | |
2,5 | 3,2 | 0,472 |
Para cada conjunto de dados, calcule (a) a média; (b) a mediana; © a faixa; (d) o desvio padrão; e (e) o coeficiente de variação.
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