Aplique o teste Q aos conjuntos de dados que seguem para determinar se resultados anômalos devem ser mantidos ou rejeitados a um nível de confiança de 95 %.
(a) 41, 27 ; 41,61 ; 41,84 ; 41,70
(b) 7,295; 7,284; 7, 388; 7,292
Supondo que queiramos estimar o número de grãos de feijão em um quilograma e que medimos a massa de um único grão que deu 0,1188 g. Admitindo que já conhecemos o desvio padrão da população ( sigma=0,0363 g ). A partir desses dados construa o intervalo de confiança para o número de grãos com 95 % de confiança.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas partes:
Parte (a): Aplicar o teste Q nos conjuntos de dados fornecidos para ver se há resultados anômalos que devemos manter ou rejeitar, com um nível de confiança de 95%.
Parte (b): Estimar o número de grãos de feijão em um quilograma, sabendo a massa de um único grão e o desvio padrão da população, construindo um intervalo de confiança de 95%.
Para resolver isso, vamos precisar entender o Teste Q para detectar valores discrepantes e intervalos de confiança para estimar parâmetros populacionais.

Passo 2

Vamos começar com a Parte (a) e aplicar o Teste Q nos conjuntos de dados fornecidos. O Teste Q ajuda a identificar se um valor é um outlier (anômalo) em um pequeno conjunto de dados.

Passo 3

Passo a passo do Teste Q:
  1. Ordene os dados do menor para o maior.
  2. Calcule a diferença entre o valor suspeito e o valor mais próximo.
  3. Divida essa diferença pelo alcance total dos dados (diferença entre o maior e o menor valor).
  4. Compare o resultado com o valor crítico da tabela Q para o tamanho do conjunto de dados e nível de confiança de 95%.
Se o Q calculado for maior que o Q crítico, o valor é considerado um outlier e deve ser rejeitado; caso contrário, é mantido.

Passo 4

Vamos aplicar isso aos nossos conjuntos de dados.
(a) Conjunto 1: 41,27; 41,61; 41,84; 41,70
  1. Ordenando: 41,27; 41,61; 41,70; 41,84
  2. Vamos verificar o menor valor, 41,27, como possível outlier.
    • Diferença entre 41,27 e 41,61: 0,34
  3. Alcance: 41,84 - 41,27 = 0,57
  4. Q calculado: 0,34 / 0,57 ≈ 0,596
Agora, consultando a tabela Q para n=4 e confiança de 95%, o Q crítico é aproximadamente 0,765.
Como 0,596 < 0,765, não rejeitamos 41,27 como outlier.
(a) Conjunto 2: 7,295; 7,284; 7,388; 7,292
  1. Ordenando: 7,284; 7,292; 7,295; 7,388
  2. Verificando o maior valor, 7,388:
    • Diferença entre 7,388 e 7,295: 0,093
  3. Alcance: 7,388 - 7,284 = 0,104
  4. Q calculado: 0,093 / 0,104 ≈ 0,894
Comparando com o Q crítico de 0,765:
Como 0,894 > 0,765, rejeitamos 7,388 como outlier.

Passo 5

Agora, vamos para a Parte (b), onde queremos estimar o número de grãos de feijão em um quilograma.
Temos:
  • Massa de um grão: 0,1188 g
  • Desvio padrão da população: σ = 0,0363 g
  • Queremos um intervalo de confiança de 95% para o número de grãos.
Para isso, usamos a fórmula do intervalo de confiança para a média:
mu pm Z ( sigmaraizn )
Mas como queremos o número de grãos, vamos rearranjar para encontrar n.

Passo 6

Vamos considerar que 1 kg = 1000 g. Então, o número estimado de grãos (n) é:
n = 1000massa de um grão = 10000,1188 approx 8418 grãos ãã
Para o intervalo de confiança, precisamos calcular a margem de erro.

Passo 7

A margem de erro (E) é dada por:
E = Z ( sigmaraizn )
Para 95% de confiança, o valor de Z é aproximadamente 1,96.
Calculando E:
E = 1,96 ( 0,0363raiz8418 ) approx 1,96 ( 0,036391,75 ) approx 1,96 times 0,000396 approx 0,000776
Isso significa que o intervalo de confiança para a massa total é 1000 g ± 0,776 g.

Passo 8

Agora, para encontrar o intervalo de confiança para o número de grãos, invertemos a relação:
n = 1000massa total pm E
Calculando os limites:
nmáximo = 10000,1188 - 0,000776 approx 10000,1180 approx 8475 grãos áã
nmínimo = 10000,1188 + 0,000776 approx 10000,1196 approx 8370 grãos íã

Resposta

(a) No primeiro conjunto de dados (41,27; 41,61; 41,84; 41,70), não há valores anômalos e todos os resultados devem ser mantidos. No segundo conjunto (7,295; 7,284; 7,388; 7,292), o valor 7,388 é um outlier e deve ser rejeitado.
(b) O intervalo de confiança para o número de grãos de feijão em um quilograma, com 95% de confiança, é entre aproximadamente 8370 e 8475 grãos.

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