Calcular assíntota verticais não é o mesmo que igualar denominadores a zero! Por exemplo, o denominador da função f(x)=(x^2-4) /(x-2) se anula em x=2, mas
lim x 2 x^2-4x-2=lim x 2 (x-2)(x+2)(x-2)=4
e portanto x=2 não é assíntota vertical. Para as funções abaixo, determine os candidatos à assíntota para, em seguida, checar se cada um deles é de fato assíntota. (veja Exemplo 4 do Texto 1)
(a) f(x)=3 x+12x^2-3 x-28
(b) f(x)=xx^3-x
© f(x)=sen(x)x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre assíntotas verticais! O objetivo é determinar se as funções dadas têm assíntotas verticais. Para isso, precisamos olhar para os denominadores das frações e ver onde eles se anulam. Depois, vamos verificar o limite nessas pontas para confirmar se realmente é uma assíntota. Vamos precisar usar conhecimentos de limites e fatoração de polinômios.

Passo 2

Vamos começar com a primeira função:
f(x) = 3x + 12x^2 - 3x - 28
Primeiro, identifique onde o denominador é igual a zero.

Passo 3

Resolvendo a equação do denominador:
x^2 - 3x - 28 = 0
Para resolver isso, podemos fatorar o polinômio.

Passo 4

Fatorando o denominador:
x^2 - 3x - 28 = (x - 7)(x + 4)
Então, as soluções são x = 7 e x = -4. Esses são os candidatos a assíntotas verticais.

Passo 5

Agora, vamos verificar o limite da função quando x se aproxima de 7 e de -4.
Para x = 7:
limx to 7 3x + 12(x - 7)(x + 4) = limx to 7 3(7) + 120 cdot 11 = 330
O limite tende ao infinito, então x = 7 é uma assíntota vertical.

Passo 6

Para x = -4:
limx to -4 3x + 12(x - 7)(x + 4) = limx to -4 3(-4) + 12(-11) cdot 0 = 00
Isso é uma indeterminação, então precisamos analisar mais a fundo.

Passo 7

Simplificando a função:
3x + 12(x - 7)(x + 4) = 3(x + 4)(x - 7)(x + 4) = 3x - 7
Agora, cancelamos x + 4, então não há assíntota em x = -4.

Passo 8

Passando para a segunda função:
f(x) = xx^3 - x
Primeiro, vamos fatorar o denominador.

Passo 9

Fatorando o denominador:
x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x - 1)(x + 1)
Então, os candidatos a assíntotas são x = 0, x = 1 e x = -1.

Passo 10

Vamos verificar cada um:
Para x = 0:
limx to 0 xx(x - 1)(x + 1) = limx to 0 1(x - 1)(x + 1) = 1(-1)(1) = -1
O limite é finito, então x = 0 não é uma assíntota vertical.

Passo 11

Para x = 1:
limx to 1 xx(x - 1)(x + 1) = limx to 1 1(x - 1)(x + 1) = 10 cdot 2 = infty
O limite tende ao infinito, então x = 1 é uma assíntota vertical.

Passo 12

Para x = -1:
limx to -1 xx(x - 1)(x + 1) = limx to -1 1(x - 1)(x + 1) = 1(-2)(0) = -infty
O limite tende a menos infinito, então x = -1 é uma assíntota vertical.

Passo 13

Agora, vamos para a terceira função:
f(x) = sin(x)x
Primeiro, identificamos onde o denominador é zero.

Passo 14

O denominador é zero quando x = 0. Então, x = 0 é um candidato a assíntota vertical.

Passo 15

Vamos verificar o limite quando x se aproxima de 0:
limx to 0 sin(x)x
Sabemos que esse limite é 1, um valor finito.

Passo 16

Como o limite é finito, x = 0 não é uma assíntota vertical.

Resposta

(a) A única assíntota vertical é x = 7.
(b) As assíntotas verticais são x = 1 e x = -1.
© Não há assíntotas verticais.

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