Calcular assíntota verticais não é o mesmo que igualar denominadores a zero! Por exemplo, o denominador da função
se anula em
, mas
e portanto
não é assíntota vertical. Para as funções abaixo, determine os candidatos à assíntota para, em seguida, checar se cada um deles é de fato assíntota. (veja Exemplo 4 do Texto 1)
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre assíntotas verticais! O objetivo é determinar se as funções dadas têm assíntotas verticais. Para isso, precisamos olhar para os denominadores das frações e ver onde eles se anulam. Depois, vamos verificar o limite nessas pontas para confirmar se realmente é uma assíntota. Vamos precisar usar conhecimentos de limites e fatoração de polinômios.
Passo 2
Vamos começar com a primeira função:
Primeiro, identifique onde o denominador é igual a zero.
Passo 3
Resolvendo a equação do denominador:
Para resolver isso, podemos fatorar o polinômio.
Passo 4
Fatorando o denominador:
Então, as soluções são
e
. Esses são os candidatos a assíntotas verticais.
Passo 5
Agora, vamos verificar o limite da função quando
se aproxima de 7 e de -4.
Para
:
O limite tende ao infinito, então
é uma assíntota vertical.
Passo 6
Para
:
Isso é uma indeterminação, então precisamos analisar mais a fundo.
Passo 7
Simplificando a função:
Agora, cancelamos
, então não há assíntota em
.
Passo 8
Passando para a segunda função:
Primeiro, vamos fatorar o denominador.
Passo 9
Fatorando o denominador:
Então, os candidatos a assíntotas são
,
e
.
Passo 10
Vamos verificar cada um:
Para
:
O limite é finito, então
não é uma assíntota vertical.
Passo 11
Para
:
O limite tende ao infinito, então
é uma assíntota vertical.
Passo 12
Para
:
O limite tende a menos infinito, então
é uma assíntota vertical.
Passo 13
Agora, vamos para a terceira função:
Primeiro, identificamos onde o denominador é zero.
Passo 14
O denominador é zero quando
. Então,
é um candidato a assíntota vertical.
Passo 15
Vamos verificar o limite quando
se aproxima de 0:
Sabemos que esse limite é 1, um valor finito.
Passo 16
Como o limite é finito,
não é uma assíntota vertical.
Resposta
(a) A única assíntota vertical é
.
(b) As assíntotas verticais são
e
.
© Não há assíntotas verticais.
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(e)
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