Use os testes de comparação e determine se a série converge ou diverge.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a série infinita . O que precisamos fazer é usar os testes de comparação para determinar se essa série converge (ou seja, soma a um valor finito) ou diverge. Para isso, vamos comparar essa série com outra que já sabemos se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série . Observando para valores grandes de :
  • No numerador, é aproximadamente porque, para grande, o 5 fica meio que “esquecido”.
  • No denominador, é aproximadamente , então vira .
Então, o termo geral simplificado fica aproximadamente .

Passo 3

Agora, vamos comparar com a série conhecida . Sabemos que essa série é uma série p, onde . E séries p convergem quando , o que é o nosso caso.
Para usar o teste de comparação, precisamos mostrar que o termo geral da nossa série original é menor ou igual a um múltiplo do termo da série conhecida para todo a partir de algum valor. Vamos encontrar uma constante tal que:
Observando que para e , temos:
Então, podemos escolher .

Resposta

Como a série converge e para todo , pela regra do teste de comparação, a série converge.

Exercícios relacionados

Use os testes de comparação e determine se a série converge ou diverge.
Use os testes de comparação e determine se a série converge ou diverge.
Calcular assíntota verticais não é o mesmo que igualar denominadores a zero! Por exemplo, o denominador da função se anula em , mas
e portanto não é assíntota vertical. Para as funções abaixo, determine os candidatos à assíntota para, em seguida, checar se cada um deles é de fato assíntota. (veja Exemplo 4 do Texto 1)
(a)
(b)
©
Aplique o teste da divergência e diga o que ele afirma para cada série.