Use os testes de comparação e determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a série infinita
. O que precisamos fazer é usar os testes de comparação para determinar se essa série converge (ou seja, soma a um valor finito) ou diverge. Para isso, vamos comparar essa série com outra que já sabemos se converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série
. Observando para valores grandes de
:
- No numerador,
é aproximadamente porque, para grande, o 5 fica meio que “esquecido”. - No denominador,
é aproximadamente , então vira .
Então, o termo geral simplificado fica aproximadamente
.
Passo 3
Agora, vamos comparar com a série conhecida
. Sabemos que essa série é uma série p, onde
. E séries p convergem quando
, o que é o nosso caso.
Para usar o teste de comparação, precisamos mostrar que o termo geral da nossa série original é menor ou igual a um múltiplo do termo da série conhecida para todo
a partir de algum valor. Vamos encontrar uma constante
tal que:
Observando que
para
e
, temos:
Então, podemos escolher
.
Resposta
Como a série
converge e
para todo
, pela regra do teste de comparação, a série
converge.