Use os testes de comparação e determine se a série converge ou diverge. sumn=1^infty 5+2 n(1+n^2)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a série infinita . O que precisamos fazer é usar os testes de comparação para determinar se essa série converge (ou seja, soma a um valor finito) ou diverge. Para isso, vamos comparar essa série com outra que já sabemos se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série . Observando para valores grandes de :
  • No numerador, é aproximadamente porque, para grande, o 5 fica meio que “esquecido”.
  • No denominador, é aproximadamente , então vira .
Então, o termo geral simplificado fica aproximadamente .

Passo 3

Agora, vamos comparar com a série conhecida 5+2n(1+n^2)^2 <= C cdot 1n^3 . Sabemos que essa série é uma série p, onde 5+2n(1+n^2)^2 <= 4nn^4 = 4n^3 . E séries p convergem quando , o que é o nosso caso.
Para usar o teste de comparação, precisamos mostrar que o termo geral da nossa série original é menor ou igual a um múltiplo do termo da série conhecida para todo a partir de algum valor. Vamos encontrar uma constante tal que:
Observando que para e , temos:
Então, podemos escolher .

Resposta

Como a série converge e para todo , pela regra do teste de comparação, a série converge.

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