Aplique o Teste da Raíz para determinar se as séries convergem, divergem ou se o método não fornece informação conclusiva. sumk=1^infty(1-1k)^k^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teste da Raíz para descobrir se a série converge, diverge ou se o teste não dá uma resposta clara. Pra isso, vamos precisar entender como aplicar o Teste da Raíz e fazer alguns cálculos básicos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Raíz. Esse teste diz que, para uma série , a gente calcula o limite .
  • Se esse limite for menor que 1, a série converge.
  • Se for maior que 1, a série diverge.
  • Se for igual a 1, o teste não dá uma resposta definitiva.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso na nossa série. Temos raiz[k](1 - 1k)^k^2 = (1 - 1k)^k^2k = (1 - 1k)^k . Vamos calcular :

Passo 4

Agora, precisamos calcular o limite de limk to infty (1 - 1k)^k = 1e quando vai para o infinito. Sabemos que:
onde é aproximadamente 2,71828.

Passo 5

Então, temos:
limk to infty raiz[k]|ak| = 1e approx 0,3679
Como esse valor é menor que 1, de acordo com o Teste da Raíz, a série converge.

Resposta

A série converge pelo Teste da Raíz.

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