Aplique o Teste da Raíz para determinar se as séries convergem, divergem ou se o método não fornece informação conclusiva.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teste da Raíz para descobrir se a série
converge, diverge ou se o teste não dá uma resposta clara. Pra isso, vamos precisar entender como aplicar o Teste da Raíz e fazer alguns cálculos básicos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Raíz. Esse teste diz que, para uma série
, a gente calcula o limite
.
- Se esse limite for menor que 1, a série converge.
- Se for maior que 1, a série diverge.
- Se for igual a 1, o teste não dá uma resposta definitiva.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso na nossa série. Temos
. Vamos calcular
:
Passo 4
Agora, precisamos calcular o limite de
quando
vai para o infinito. Sabemos que:
onde
é aproximadamente 2,71828.
Passo 5
Então, temos:
Como esse valor é menor que 1, de acordo com o Teste da Raíz, a série converge.
Resposta
A série
converge pelo Teste da Raíz.