De uma parametrização para o ramo da hipérbole de equação:
(x²/a²) - (y²/b²) = 1, x ≥ a

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar uma parametrização para o ramo da hipérbole dada pela equação:
(x²/a²) - (y²/b²) = 1, x ≥ a
Isso significa que precisamos expressar as coordenadas e em termos de um parâmetro, geralmente denotado por , de forma que, ao variar , a gente percorra todo o ramo da hipérbole especificado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma parametrização. Em matemática, parametrizar uma curva significa expressar suas coordenadas x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 e em função de um terceiro parâmetro . Isso facilita analisar e desenhar a curva, além de resolver problemas envolvendo ela.
No caso da hipérbole, que é um tipo de curva cônica, a equação que temos é:
E estamos interessados no ramo onde .

Passo 3

Para parametrizar essa hipérbole, vamos usar as funções hiperbólicas, que são análogas às funções trigonométricas, mas para hipérbolas. As funções hiperbólicas principais são o cosseno hiperbólico ( ) e o seno hiperbólico ( ).
Sabemos que:
Essa identidade se parece muito com a equação da nossa hipérbole!

Passo 4

Agora, vamos associar as coordenadas e às funções hiperbólicas multiplicadas pelos parâmetros e , respectivamente. Ou seja:
Dessa forma, ao substituir e na equação da hipérbole, teremos:
Que satisfaz exatamente a equação da hipérbole.

Passo 5

Por fim, precisamos garantir que estamos cobrindo apenas o ramo onde . Como o cosseno hiperbólico é sempre maior ou igual a 1 para todo , multiplicando por teremos , que é exatamente o que queremos.

Resposta

A parametrização para o ramo da hipérbole onde é:
Onde é um parâmetro real.

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