De uma parametrização para o ramo da hipérbole de equação:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar uma parametrização para o ramo da hipérbole dada pela equação:
Isso significa que precisamos expressar as coordenadas
e
em termos de um parâmetro, geralmente denotado por
, de forma que, ao variar
, a gente percorra todo o ramo da hipérbole especificado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma parametrização. Em matemática, parametrizar uma curva significa expressar suas coordenadas
e
em função de um terceiro parâmetro
. Isso facilita analisar e desenhar a curva, além de resolver problemas envolvendo ela.
No caso da hipérbole, que é um tipo de curva cônica, a equação que temos é:
E estamos interessados no ramo onde
.
Passo 3
Para parametrizar essa hipérbole, vamos usar as funções hiperbólicas, que são análogas às funções trigonométricas, mas para hipérbolas. As funções hiperbólicas principais são o cosseno hiperbólico (
) e o seno hiperbólico (
).
Sabemos que:
Essa identidade se parece muito com a equação da nossa hipérbole!
Passo 4
Agora, vamos associar as coordenadas
e
às funções hiperbólicas multiplicadas pelos parâmetros
e
, respectivamente. Ou seja:
Dessa forma, ao substituir
e
na equação da hipérbole, teremos:
Que satisfaz exatamente a equação da hipérbole.
Passo 5
Por fim, precisamos garantir que estamos cobrindo apenas o ramo onde
. Como o cosseno hiperbólico
é sempre maior ou igual a 1 para todo
, multiplicando por
teremos
, que é exatamente o que queremos.
Resposta
A parametrização para o ramo da hipérbole
onde
é:
Onde
é um parâmetro real.