Aplique o Teste da Razão para determinar se as séries convergem, divergem ou se o método não fornece informação conclusiva. sumk=1^infty 2^k+1k 3^k-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para usar o Teste da Razão para descobrir se a série converge, diverge ou se o teste não dá uma resposta clara. O Teste da Razão é uma ferramenta que ajuda a analisar séries infinitas olhando para a razão entre termos consecutivos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é a expressão que representa cada termo da soma. Aqui, o termo geral é:
ak = 2^k+1k cdot 3^k-1

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste consiste em calcular o limite da razão entre L = limk to infty | ak+1ak | e quando tende ao infinito:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste não é conclusivo.

Passo 4

Vamos calcular ak+1 = 2^(k+1)+1(k+1) cdot 3^(k+1)-1 = 2^k+2(k+1) cdot 3^k :

Passo 5

Agora, montamos a razão ak+1ak = 2^k+2(k+1) cdot 3^k times k cdot 3^k-12^k+1 = 2^k+2 cdot k cdot 3^k-12^k+1 cdot (k+1) cdot 3^k :

Passo 6

Simplificando a expressão:
2^k+22^k+1 = 2^(k+2)-(k+1) = 2^1 = 2
3^k-13^k = 3^(k-1)-k = 3^-1 = 13
kk+1 permanece como está á
Então, a razão fica:
ak+1ak = 2 times 13 times kk+1 = 23 times kk+1

Passo 7

Agora, calculamos o limite quando L = limk to infty 23 times kk+1 = 23 times limk to infty kk+1 tende ao infinito:
limk to infty kk+1 = 1
Sabemos que:
L = 23 times 1 = 23
Portanto:

Passo 8

Como , pelo Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série converge pelo Teste da Razão.

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