Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana: x = cos(t), y = -3 + sen(t), t in [0, 2pi]

Passo 1

Vamos resolver um exercício que envolve equações paramétricas para desenhar uma curva e encontrar sua equação cartesiana. As equações dadas são e , com o parâmetro variando de a . Para resolver, vamos entender o que são equações paramétricas e como transformá-las em uma equação no sistema cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são essas equações paramétricas. Elas expressam as coordenadas e em função de um terceiro parâmetro, no caso, . Isso é útil para descrever movimentos ou trajetórias, como o de um ponto que se move no plano.

Passo 3

Dadas as equações e , podemos notar que elas se assemelham às equações paramétricas de um círculo. Lembra que para um círculo com centro em e raio , as equações paramétricas são:

Passo 4

Comparando com as nossas equações, temos:
  • (o centro está na origem no eixo )
  • (o centro está deslocado 3 unidades para baixo no eixo )
  • (o raio do círculo)

Passo 5

Agora, para encontrar a equação cartesiana, eliminamos o parâmetro . Sabemos que:
Substituindo e , temos:

Resposta

A equação cartesiana da curva é , que representa um círculo com centro em e raio 1.

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