( ) A função
é diferenciável em (a , b), se puder ser aproximada por um plano tangente à superfície em (a, b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que a função
é diferenciável no ponto
se ela puder ser aproximada por um plano tangente à superfície nesse ponto. Vamos explorar o que isso significa e quais conceitos precisamos entender para resolver essa questão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser diferenciável. Em cálculo, uma função de duas variáveis
é diferenciável no ponto
se ela pode ser bem aproximada por um plano linear próximo a esse ponto. Isso é similar a como uma função de uma variável pode ser aproximada por uma reta tangente.
Passo 3
Agora, sobre o plano tangente: para uma superfície
, o plano tangente no ponto
é a melhor aproximação linear da superfície perto desse ponto. Ele é dado pela fórmula:
onde
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 4
A ideia de diferenciabilidade está diretamente ligada à existência dessas derivadas parciais e à capacidade de aproximar a função pelo plano tangente. Se essas derivadas existem e a função se comporta bem (ou seja, muda de forma linear perto de
), então a função é diferenciável naquele ponto.
Passo 5
Portanto, se a função
pode ser aproximada por um plano tangente à superfície em
, isso implica que as derivadas parciais existem e que a aproximação linear é válida. Isso satisfaz a definição de diferenciabilidade.
Resposta
A afirmação está correta. A função
é diferenciável no ponto
se puder ser aproximada por um plano tangente à superfície nesse ponto.
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em que
, para calcular.
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