( ) A função é diferenciável em (a , b), se puder ser aproximada por um plano tangente à superfície em (a, b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que a função é diferenciável no ponto se ela puder ser aproximada por um plano tangente à superfície nesse ponto. Vamos explorar o que isso significa e quais conceitos precisamos entender para resolver essa questão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser diferenciável. Em cálculo, uma função de duas variáveis é diferenciável no ponto se ela pode ser bem aproximada por um plano linear próximo a esse ponto. Isso é similar a como uma função de uma variável pode ser aproximada por uma reta tangente.

Passo 3

Agora, sobre o plano tangente: para uma superfície , o plano tangente no ponto é a melhor aproximação linear da superfície perto desse ponto. Ele é dado pela fórmula:
onde e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 4

A ideia de diferenciabilidade está diretamente ligada à existência dessas derivadas parciais e à capacidade de aproximar a função pelo plano tangente. Se essas derivadas existem e a função se comporta bem (ou seja, muda de forma linear perto de ), então a função é diferenciável naquele ponto.

Passo 5

Portanto, se a função pode ser aproximada por um plano tangente à superfície em , isso implica que as derivadas parciais existem e que a aproximação linear é válida. Isso satisfaz a definição de diferenciabilidade.

Resposta

A afirmação está correta. A função é diferenciável no ponto se puder ser aproximada por um plano tangente à superfície nesse ponto.

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