Aplique a transformada de Laplace nos problemas lineares de valor inicial:
7.1.
7.1.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
com a condição inicial
usando a Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, especialmente quando temos condições iniciais. Vamos precisar saber como aplicar a transformada nos termos da equação e depois usar propriedades básicas para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que a Transformada de Laplace de
é
, onde
é a transformada de
. Então, aplicando a transformada:
Isso fica:
Passo 3
Agora, substituímos a condição inicial
:
Vamos agrupar os termos com
:
Simplificando o lado direito:
Agora, isolamos
:
Passo 4
Para encontrar
, precisamos fazer a Transformada Inversa de Laplace de
. Vamos decompor a fração em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Escolhendo valores para simplificar, por exemplo,
:
Agora,
:
Então, temos:
Aplicando a Transformada Inversa:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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Resolva:
6.8.
6.8.
Derive a função
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