Aplique a transformada de Laplace nos problemas lineares de valor inicial:
7.1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial com a condição inicial usando a Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, especialmente quando temos condições iniciais. Vamos precisar saber como aplicar a transformada nos termos da equação e depois usar propriedades básicas para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que a Transformada de Laplace de é , onde é a transformada de . Então, aplicando a transformada:
Isso fica:

Passo 3

Agora, substituímos a condição inicial :
Vamos agrupar os termos com :
Simplificando o lado direito:
Agora, isolamos :

Passo 4

Para encontrar , precisamos fazer a Transformada Inversa de Laplace de . Vamos decompor a fração em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :
Escolhendo valores para simplificar, por exemplo, :
Agora, :
Então, temos:
Aplicando a Transformada Inversa:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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6.8.
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