Resolva:
6.8. L^{-1}{1/(s*(s^{2}+1))}

Passo 1

Beleza, vamos resolver a transformada inversa de Laplace da função . Isso faz parte da matéria de Transformadas de Laplace, que nos ajuda a resolver equações diferenciais transformando-as em funções mais fáceis de manipular. Para resolver, vamos precisar usar frações parciais e conhecer as transformadas inversas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração em frações parciais. Isso significa escrever a função como a soma de frações mais simples que a gente já conhece a transformada inversa.

Passo 3

Suponhamos que:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores, temos:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Comparando os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação, obtemos:

Passo 6

Resolvendo as equações:
  • Da equação (3):
  • Da equação (1):
  • Da equação (2):

Passo 7

Substituindo os valores encontrados, temos:

Passo 8

Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente:
Aqui usamos que .

Passo 9

Juntando os resultados:

Resposta

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