Resolva:
6.8.
6.8.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a transformada inversa de Laplace da função
. Isso faz parte da matéria de Transformadas de Laplace, que nos ajuda a resolver equações diferenciais transformando-as em funções mais fáceis de manipular. Para resolver, vamos precisar usar frações parciais e conhecer as transformadas inversas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração
em frações parciais. Isso significa escrever a função como a soma de frações mais simples que a gente já conhece a transformada inversa.
Passo 3
Suponhamos que:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores, temos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Comparando os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação, obtemos:
Passo 6
Resolvendo as equações:
- Da equação (3):
- Da equação (1):
- Da equação (2):
Passo 7
Substituindo os valores encontrados, temos:
Passo 8
Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente:
Aqui usamos que
.
Passo 9
Juntando os resultados: