Aplique a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A equação que temos é
com as condições iniciais
,
,
e
. Vamos precisar saber como aplicar a Transformada de Laplace em derivadas e resolver equações algébricas.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a Transformada de Laplace de uma derivada é:
Onde
é a Transformada de Laplace de
.
Passo 3
Aplicando a Transformada de Laplace na equação
:
Substituindo usando a fórmula das derivadas:
Passo 4
Agora, vamos substituir as condições iniciais na equação:
Simplificando:
Passo 5
Vamos isolar
:
Então:
Passo 6
Vamos fatorar o denominador:
Então a expressão fica:
Passo 7
Agora, vamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace. Sabemos que:
Aqui,
, então:
Resposta
A solução da equação diferencial é
.
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Escreva os números complexos abaixo na forma polar
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Aplique a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
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