Aplique a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A equação que temos é com as condições iniciais , , e . Vamos precisar saber como aplicar a Transformada de Laplace em derivadas e resolver equações algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a Transformada de Laplace de uma derivada é:
Onde é a Transformada de Laplace de .

Passo 3

Aplicando a Transformada de Laplace na equação :
Substituindo usando a fórmula das derivadas:

Passo 4

Agora, vamos substituir as condições iniciais na equação:
Simplificando:

Passo 5

Vamos isolar :
Então:

Passo 6

Vamos fatorar o denominador:
Então a expressão fica:

Passo 7

Agora, vamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace. Sabemos que:
Aqui, , então:

Resposta

A solução da equação diferencial é .

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Escreva os números complexos abaixo na forma polar
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Aplique a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
.
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