Aplique a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma equação diferencial usando a transformada de Laplace. A equação é
, onde
é uma função que vale 1 entre
e
e 0 depois disso. Além disso, temos as condições iniciais
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a transformada de Laplace em equações diferenciais com condições iniciais e funções por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
usando funções de Heaviside para facilitar a aplicação da transformada de Laplace. A função dada é:
Podemos expressar isso como:
onde
é a função de Heaviside que “liga” a partir de
.
Passo 3
Agora, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial:
Sabemos que:
e
Aplicando isso, temos:
Passo 4
Vamos juntar os termos de
:
Isolando
:
Simplificando a fração:
Passo 5
Agora, vamos separar os termos para facilitar a inversa da transformada de Laplace:
Dividindo a primeira fração:
Passo 6
Vamos aplicar a transformada inversa de Laplace a cada termo separadamente. Sabemos que:
e
Então, a transformada inversa da primeira parte é:
Passo 7
Para o segundo termo, temos:
Usando a propriedade da transformada de Laplace para deslocamento, isso corresponde a:
Passo 8
Finalmente, juntando tudo, a solução geral é:
Resposta
A solução da equação diferencial é
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, solta do repouso de forma que o deslocamento inicial seja dado por