Aplique a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
y^prime prime+4 y=ll1, & se 0 <= t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma equação diferencial usando a transformada de Laplace. A equação é , onde é uma função que vale 1 entre e e 0 depois disso. Além disso, temos as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a transformada de Laplace em equações diferenciais com condições iniciais e funções por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função f(t) = 1, & 0 <= t < pi 0, & pi <= t < infty usando funções de Heaviside para facilitar a aplicação da transformada de Laplace. A função dada é:
f(t) = 1 - u(t - pi)
Podemos expressar isso como:
onde é a função de Heaviside que “liga” a partir de .

Passo 3

Agora, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial:
Ly'' + 4Ly = L1 - u(t - pi)
Sabemos que:
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
e
Lu(t - a) = e^-a ss
Aplicando isso, temos:
s^2 Y(s) - s cdot 1 - 0 + 4Y(s) = 1s - e^-pi ss

Passo 4

Vamos juntar os termos de (s^2 + 4) Y(s) - s = 1s - e^-pi ss :
Y(s) = s + 1s - e^-pi sss^2 + 4
Isolando Y(s) = s^2 + 1 - e^-pi ss(s^2 + 4) :
Simplificando a fração:

Passo 5

Agora, vamos separar os termos para facilitar a inversa da transformada de Laplace:
Y(s) = s^2 + 1s(s^2 + 4) - e^-pi ss(s^2 + 4)
Dividindo a primeira fração:
s^2 + 1s(s^2 + 4) = s^2s(s^2 + 4) + 1s(s^2 + 4) = 1s^2 + 4 + 1s(s^2 + 4)

Passo 6

Vamos aplicar a transformada inversa de Laplace a cada termo separadamente. Sabemos que:
L^-11s^2 + 4 = 12 sin(2t)
e
L^-11s(s^2 + 4) = 14 (1 - cos(2t))
Então, a transformada inversa da primeira parte é:
L^-1s^2 + 1s(s^2 + 4) = 12 sin(2t) + 14 (1 - cos(2t))

Passo 7

Para o segundo termo, temos:
L^-1e^-pi ss(s^2 + 4)
Usando a propriedade da transformada de Laplace para deslocamento, isso corresponde a:
u(t - pi) cdot 14 (1 - cos[2(t - pi)])

Passo 8

Finalmente, juntando tudo, a solução geral é:
y(t) = 12 sin(2t) + 14 (1 - cos(2t)) - 14 u(t - pi) (1 - cos[2(t - pi)])

Resposta

A solução da equação diferencial é
y(t) = 12 sin(2t) + 14 (1 - cos(2t)) - 14 u(t - pi) (1 - cos[2(t - pi)])

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