Aplique a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma equação diferencial usando a transformada de Laplace. A equação é , onde é uma função que vale 1 entre e e 0 depois disso. Além disso, temos as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a transformada de Laplace em equações diferenciais com condições iniciais e funções por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função usando funções de Heaviside para facilitar a aplicação da transformada de Laplace. A função dada é:
Podemos expressar isso como:
onde é a função de Heaviside que “liga” a partir de .

Passo 3

Agora, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial:
Sabemos que:
e
Aplicando isso, temos:

Passo 4

Vamos juntar os termos de :
Isolando :
Simplificando a fração:

Passo 5

Agora, vamos separar os termos para facilitar a inversa da transformada de Laplace:
Dividindo a primeira fração:

Passo 6

Vamos aplicar a transformada inversa de Laplace a cada termo separadamente. Sabemos que:
e
Então, a transformada inversa da primeira parte é:

Passo 7

Para o segundo termo, temos:
Usando a propriedade da transformada de Laplace para deslocamento, isso corresponde a:

Passo 8

Finalmente, juntando tudo, a solução geral é:

Resposta

A solução da equação diferencial é

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.
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.
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