Aplique a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
y^prime prime+4 y=llt, & se 0 <= t<1, 0, & se 1 <= t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para resolver uma equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A equação é:
y'' + 4y = t, & se 0 <= t < 1, 0, & se 1 <= t < infty;
com as condições iniciais e .
Aqui, vamos usar a Transformada de Laplace para transformar a equação diferencial em uma equação algébrica que seja mais fácil de resolver. Depois, aplicamos a transformada inversa para encontrar a solução no domínio do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função do lado direito usando a função degrau de Heaviside f(t) = t cdot u(1 - t) . Podemos expressar a função dada como:
Isso porque a função está ativa somente no intervalo e é zero depois disso. A função é igual a 1 quando e 0 quando .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que:
  • s^2 Y(s) + 4 Y(s) = F(s)
Com as condições iniciais e , a transformação fica:

Passo 4

Vamos encontrar a Transformada de Laplace de Lf(t) = Lt - Lt cdot u(t - 1) . Utilizando a propriedade da Transformada de Laplace para funções multiplicadas por funções de Heaviside:
Lt = 1s^2
Sabemos que:
Lf(t - a)u(t - a) = e^-as F(s)
E para Lt cdot u(t - 1) = e^-s ( 1s^2 + 1s ) , usamos a propriedade de atraso:
F(s) = 1s^2 - e^-s ( 1s^2 + 1s )
Então:
Portanto:

Passo 5

Substituindo s^2 Y(s) + 4 Y(s) = 1s^2 - e^-s ( 1s^2 + 1s ) na equação transformada:
Y(s)(s^2 + 4) = 1s^2 - e^-s ( 1s^2 + 1s )
Fatorando Y(s) = 1s^2(s^2 + 4) - e^-s ( 1s^2(s^2 + 4) + 1s(s^2 + 4) ) :
Isolando :

Passo 6

Agora, vamos simplificar 1s^2(s^2 + 4) = As + Bs^2 + Cs + Ds^2 + 4 :
Primeiro, simplificamos a fração:
1s^2(s^2 + 4) = 14 ( 1s^2 - 1s^2 + 4 )
Resolvendo os coeficientes Y(s) = 14 ( 1s^2 - 1s^2 + 4 ) - e^-s cdot 14 ( 1s^2 - 1s^2 + 4 ) - e^-s cdot 1s(s^2 + 4) , encontramos:
Substituindo de volta:

Passo 7

Aplicando a Transformada Inversa de Laplace, lembrando que:
  • y(t) = 14 ( t - sin(2t)2 ) - 14 [ (t - 1) - sin(2(t - 1))2 ] u(t - 1) - [ 1 - cos(2(t - 1))2 ] u(t - 1)
Aplicando essas relações, obtemos:

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = 14(t - sin(2t)2) - 14[(t - 1) - sin(2(t - 1))2]u(t - 1) - 1 - cos(2(t - 1))2u(t - 1)

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