Aplique a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para resolver uma equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A equação é:
com as condições iniciais e .
Aqui, vamos usar a Transformada de Laplace para transformar a equação diferencial em uma equação algébrica que seja mais fácil de resolver. Depois, aplicamos a transformada inversa para encontrar a solução no domínio do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função do lado direito usando a função degrau de Heaviside . Podemos expressar a função dada como:
Isso porque a função está ativa somente no intervalo e é zero depois disso. A função é igual a 1 quando e 0 quando .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que:
Com as condições iniciais e , a transformação fica:

Passo 4

Vamos encontrar a Transformada de Laplace de . Utilizando a propriedade da Transformada de Laplace para funções multiplicadas por funções de Heaviside:
Sabemos que:
E para , usamos a propriedade de atraso:
Então:
Portanto:

Passo 5

Substituindo na equação transformada:
Fatorando :
Isolando :

Passo 6

Agora, vamos simplificar :
Primeiro, simplificamos a fração:
Resolvendo os coeficientes , encontramos:
Substituindo de volta:

Passo 7

Aplicando a Transformada Inversa de Laplace, lembrando que:
Aplicando essas relações, obtemos:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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Aplique a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
.
Aplique a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
.
Determine o deslocamento e o período de uma corda de 40 cm de comprimento presa nas extremidades, com coeficiente , solta do repouso de forma que o deslocamento inicial seja dado por
Calcule .