Aplique a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para resolver uma equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A equação é:
com as condições iniciais
e
.
Aqui, vamos usar a Transformada de Laplace para transformar a equação diferencial em uma equação algébrica que seja mais fácil de resolver. Depois, aplicamos a transformada inversa para encontrar a solução no domínio do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função do lado direito usando a função degrau de Heaviside
. Podemos expressar a função dada como:
Isso porque a função
está ativa somente no intervalo
e é zero depois disso. A função
é igual a 1 quando
e 0 quando
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que:
Com as condições iniciais
e
, a transformação fica:
Passo 4
Vamos encontrar a Transformada de Laplace de
. Utilizando a propriedade da Transformada de Laplace para funções multiplicadas por funções de Heaviside:
Sabemos que:
E para
, usamos a propriedade de atraso:
Então:
Portanto:
Passo 5
Substituindo
na equação transformada:
Fatorando
:
Isolando
:
Passo 6
Agora, vamos simplificar
:
Primeiro, simplificamos a fração:
Resolvendo os coeficientes
, encontramos:
Substituindo de volta:
Passo 7
Aplicando a Transformada Inversa de Laplace, lembrando que:
Aplicando essas relações, obtemos:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Aplique a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
.
Aplique a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
.
Determine o deslocamento
e o período de uma corda de 40 cm de comprimento presa nas extremidades, com coeficiente
, solta do repouso de forma que o deslocamento inicial seja dado por
Calcule
.