Escreva os números complexos abaixo na forma polar

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para escrever o número complexo na forma polar. Isso está dentro do conteúdo de Números Complexos, mais especificamente envolvendo a forma polar e o Teorema de De Moivre. Para resolver isso, vamos precisar transformar o número complexo em forma polar e depois aplicar o teorema para elevar à potência desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte real e a parte imaginária do número complexo . Aqui, a parte real é e a parte imaginária é (já que é a unidade imaginária).

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o módulo (ou magnitude) do número complexo. O módulo é dado pela fórmula:
onde é a parte real e é a parte imaginária. Substituindo os valores:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o argumento (ou ângulo) do número complexo. O argumento é dado por:
Substituindo:

Passo 5

Agora que temos o número complexo na forma polar , com e , podemos escrever:

Passo 6

Para elevar esse número à potência 25, usamos o Teorema de De Moivre, que diz:
Aplicando isso:

Passo 7

Calculando :
E multiplicando o ângulo:
Como os ângulos são periódicos com período , podemos simplificar:

Passo 8

Portanto, a expressão final fica:

Resposta

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Aplique a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
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