Escreva os números complexos abaixo na forma polar
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para escrever o número complexo
na forma polar. Isso está dentro do conteúdo de Números Complexos, mais especificamente envolvendo a forma polar e o Teorema de De Moivre. Para resolver isso, vamos precisar transformar o número complexo em forma polar e depois aplicar o teorema para elevar à potência desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parte real e a parte imaginária do número complexo
. Aqui, a parte real é
e a parte imaginária é
(já que
é a unidade imaginária).
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o módulo (ou magnitude) do número complexo. O módulo é dado pela fórmula:
onde
é a parte real e
é a parte imaginária. Substituindo os valores:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular o argumento (ou ângulo) do número complexo. O argumento
é dado por:
Substituindo:
Passo 5
Agora que temos o número complexo na forma polar
, com
e
, podemos escrever:
Passo 6
Para elevar esse número à potência 25, usamos o Teorema de De Moivre, que diz:
Aplicando isso:
Passo 7
Calculando
:
E multiplicando o ângulo:
Como os ângulos são periódicos com período
, podemos simplificar:
Passo 8
Portanto, a expressão final fica:
Resposta
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Aplique a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
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