Aplique a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
y'' - 2y' - 2y = 0 ; y(0) = 2, y'(0) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. O enunciado nos dá uma equação do segundo grau com condições iniciais. Para isso, precisamos saber como aplicar a Transformada de Laplace em derivadas e usar as condições iniciais para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial:

Passo 3

Sabemos que:
Substituindo essas na equação:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a equação:
Agrupando os termos com :
Isolando :

Passo 5

Para achar , precisamos fazer a Transformada Inversa de Laplace. Primeiro, fatoramos o denominador:
Então, reescrevemos como:
Separando em frações parciais e reconhecendo as formas padrões de Transformadas Inversas, obtemos:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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