Aplique a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. O enunciado nos dá uma equação do segundo grau com condições iniciais. Para isso, precisamos saber como aplicar a Transformada de Laplace em derivadas e usar as condições iniciais para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial:
Passo 3
Sabemos que:
Substituindo essas na equação:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a equação:
Agrupando os termos com
:
Isolando
:
Passo 5
Para achar
, precisamos fazer a Transformada Inversa de Laplace. Primeiro, fatoramos o denominador:
Então, reescrevemos
como:
Separando em frações parciais e reconhecendo as formas padrões de Transformadas Inversas, obtemos:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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e
, prove que
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