Dados dois números complexos e , prove que
Faça um gráfico e obtenha a seguinte interpretação geométrica: a soma dos quadrados dos lados de um paralelogramo é igual a soma dos quadrados da diagonal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que trata de números complexos. A gente precisa provar que, para dois números complexos e , a soma dos quadrados dos módulos de e é igual a duas vezes o módulo de ao quadrado mais duas vezes o módulo de ao quadrado. Para isso, vamos usar as propriedades dos números complexos e a definição de módulo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o módulo de um número complexos é dado por . Então, o quadrado do módulo é .

Passo 3

Vamos calcular . Se e , então:
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular :
Então,

Passo 5

Somando e :
Vamos expandir os termos:

Passo 6

Agora, vamos simplificar:

Resposta

Concluímos que . Geometricamente, isso significa que em um paralelogramo formado pelos vetores e , a soma dos quadrados dos lados é igual à soma dos quadrados das diagonais.

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.
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