Dados dois números complexos
e
, prove que
Faça um gráfico e obtenha a seguinte interpretação geométrica: a soma dos quadrados dos lados de um paralelogramo é igual a soma dos quadrados da diagonal.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que trata de números complexos. A gente precisa provar que, para dois números complexos
e
, a soma dos quadrados dos módulos de
e
é igual a duas vezes o módulo de
ao quadrado mais duas vezes o módulo de
ao quadrado. Para isso, vamos usar as propriedades dos números complexos e a definição de módulo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o módulo de um número complexos
é dado por
. Então, o quadrado do módulo é
.
Passo 3
Vamos calcular
. Se
e
, então:
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Então,
Passo 5
Somando
e
:
Vamos expandir os termos:
Passo 6
Agora, vamos simplificar:
Resposta
Concluímos que
. Geometricamente, isso significa que em um paralelogramo formado pelos vetores
e
, a soma dos quadrados dos lados é igual à soma dos quadrados das diagonais.
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.
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