Encontre a transformada de Laplace inversa das seguintes funções.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem que encontrar a transformada de Laplace inversa da função . Isso faz parte do conteúdo de Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais. Vamos precisar expandir o numerador e simplificar a fração para facilitar a aplicação das regras da transformada inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o termo . Para isso, usamos a fórmula do binômio:

Passo 3

Agora, vamos substituir essa expansão na nossa função original:

Passo 4

Vamos dividir cada termo do numerador pelo denominador :
Simplificando cada fração:

Passo 5

Agora, vamos achar a transformada de Laplace inversa de cada termo separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso a cada termo:

Resposta

Juntando tudo, a transformada de Laplace inversa de é:

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Aplique a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
.
Dados dois números complexos e , prove que
Faça um gráfico e obtenha a seguinte interpretação geométrica: a soma dos quadrados dos lados de um paralelogramo é igual a soma dos quadrados da diagonal.