Encontre a transformada de Laplace inversa das seguintes funções.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem que encontrar a transformada de Laplace inversa da função
. Isso faz parte do conteúdo de Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais. Vamos precisar expandir o numerador e simplificar a fração para facilitar a aplicação das regras da transformada inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir o termo
. Para isso, usamos a fórmula do binômio:
Passo 3
Agora, vamos substituir essa expansão na nossa função original:
Passo 4
Vamos dividir cada termo do numerador pelo denominador
:
Simplificando cada fração:
Passo 5
Agora, vamos achar a transformada de Laplace inversa de cada termo separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso a cada termo:
Resposta
Juntando tudo, a transformada de Laplace inversa de
é:
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Aplique a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
.
Dados dois números complexos
e
, prove que
Faça um gráfico e obtenha a seguinte interpretação geométrica: a soma dos quadrados dos lados de um paralelogramo é igual a soma dos quadrados da diagonal.