Determine o deslocamento
e o período de uma corda de 40 cm de comprimento presa nas extremidades, com coeficiente
, solta do repouso de forma que o deslocamento inicial seja dado por
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre o movimento de uma corda fixa nas extremidades. A corda tem 40 cm de comprimento e foi solta de uma posição específica. O que precisamos encontrar é o deslocamento
da corda ao longo do tempo e o período desse movimento. Para resolver isso, vamos usar um pouco de física das ondas e matemática das séries de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a condição inicial. A corda foi solta do repouso com um deslocamento inicial dado por:
Isso significa que a corda estava em forma de “V” invertido quando solta.
Passo 3
Como a corda está fixa nas extremidades e solta do repouso, a velocidade inicial é zero. A equação que descreve o movimento da corda é a equação da onda:
onde
cm/s é a velocidade da onda na corda.
Passo 4
Vamos resolver essa equação usando a separação de variáveis e expandir a condição inicial
em uma série de Fourier. A solução geral para
será uma soma das formas de onda estacionárias que satisfazem as condições de contorno.
Passo 5
As soluções estacionárias têm a forma:
onde
cm é o comprimento da corda,
é um número inteiro, e
são coeficientes que determinamos com as condições iniciais.
Passo 6
Como a corda parte do repouso, a velocidade inicial é zero, então todos os
. Fica:
Passo 7
Agora, precisamos determinar os coeficientes
usando a condição inicial
. Expandimos
em série de Fourier senoidal:
Passo 8
Para encontrar
, usamos a fórmula:
Vamos calcular essa integral para cada
.
Passo 9
Dividimos a integral em duas partes devido à definição de
:
Resolvendo essas integrais, obtemos os coeficientes
.
Passo 10
Após calcular os
, montamos a solução completa:
Esse é o deslocamento da corda em qualquer instante
e posição
.
Passo 11
Para encontrar o período
das oscilações, observamos que cada modo tem uma frequência diferente. O período fundamental, que é o período do primeiro modo (
), é dado por:
Resposta
O deslocamento da corda é dado por
e o período das oscilações é de 40 segundos.
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Calcule
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