Determine o deslocamento e o período de uma corda de 40 cm de comprimento presa nas extremidades, com coeficiente , solta do repouso de forma que o deslocamento inicial seja dado por

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre o movimento de uma corda fixa nas extremidades. A corda tem 40 cm de comprimento e foi solta de uma posição específica. O que precisamos encontrar é o deslocamento da corda ao longo do tempo e o período desse movimento. Para resolver isso, vamos usar um pouco de física das ondas e matemática das séries de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a condição inicial. A corda foi solta do repouso com um deslocamento inicial dado por:
Isso significa que a corda estava em forma de “V” invertido quando solta.

Passo 3

Como a corda está fixa nas extremidades e solta do repouso, a velocidade inicial é zero. A equação que descreve o movimento da corda é a equação da onda:
onde cm/s é a velocidade da onda na corda.

Passo 4

Vamos resolver essa equação usando a separação de variáveis e expandir a condição inicial em uma série de Fourier. A solução geral para será uma soma das formas de onda estacionárias que satisfazem as condições de contorno.

Passo 5

As soluções estacionárias têm a forma:
onde cm é o comprimento da corda, é um número inteiro, e são coeficientes que determinamos com as condições iniciais.

Passo 6

Como a corda parte do repouso, a velocidade inicial é zero, então todos os . Fica:

Passo 7

Agora, precisamos determinar os coeficientes usando a condição inicial . Expandimos em série de Fourier senoidal:

Passo 8

Para encontrar , usamos a fórmula:
Vamos calcular essa integral para cada .

Passo 9

Dividimos a integral em duas partes devido à definição de :
Resolvendo essas integrais, obtemos os coeficientes .

Passo 10

Após calcular os , montamos a solução completa:
Esse é o deslocamento da corda em qualquer instante e posição .

Passo 11

Para encontrar o período das oscilações, observamos que cada modo tem uma frequência diferente. O período fundamental, que é o período do primeiro modo ( ), é dado por:

Resposta

O deslocamento da corda é dado por
e o período das oscilações é de 40 segundos.

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Calcule .
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