Calcule integral sen(7 x) cos (11 x) d x.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral de sen(7x) cos(11x) , dx. Para isso, vamos usar uma identidade trigonométrica que transforma o produto de seno e cosseno em uma soma de senos, facilitando a integração. Precisamos lembrar qual identidade aplicar e como usá-la passo a passo.

Passo 2

A identidade que vamos usar é:
sin A cos B = 12 [ sin(A + B) + sin(A - B) ]
Essa fórmula ajuda a simplificar o produto de seno e cosseno em uma expressão mais simples para integrar.

Passo 3

Aplicando a identidade ao nosso caso, onde A = 7x e B = 11x, temos:
sin(7x) cos(11x) = 12 [ sin(7x + 11x) + sin(7x - 11x) ]
Simplificando os argumentos das funções seno:
sin(7x) cos(11x) = 12 [ sin(18x) + sin(-4x) ]
Sabendo que sin(-theta) = -sin(theta), fica:
sin(7x) cos(11x) = 12 [ sin(18x) - sin(4x) ]

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral sin(7x) cos(11x) , dx = 12 integral sin(18x) , dx - 12 integral sin(4x) , dx

Passo 5

Lembrando que a integral de sin(kx) em relação a x é:
integral sin(kx) , dx = -1k cos(kx) + C
Aplicando isso:
12 integral sin(18x) , dx = 12 ( -118 cos(18x) ) = -136 cos(18x)
e
12 integral sin(4x) , dx = 12 ( -14 cos(4x) ) = -18 cos(4x)

Passo 6

Juntando tudo, a integral fica:
integral sin(7x) cos(11x) , dx = -136 cos(18x) + 18 cos(4x) + C

Resposta

A integral é igual a -dfrac136 cos(18x) + dfrac18 cos(4x) + C.

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