Resolva o sistema de equações diferenciais por eliminação ou por determinantes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais! Olha só o enunciado: temos duas equações que relacionam as derivadas de e com e mesmos. Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais Lineares. Para resolver, vamos usar o método de eliminação, que nos ajuda a simplificar o sistema e encontrar as funções e .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais clara:
dxdt = -5x - y dydt = 4x - y
Nosso objetivo é encontrar e que satisfazem essas equações e as condições iniciais e .
Passo 3
Para resolver esse sistema, vamos transformar as equações diferenciais em uma forma matricial. Isso facilita o uso de determinantes e autovalores. Escrevemos o sistema como:
ddt x y = -5 & -1 4 & -1 x y
Aqui, a matriz dos coeficientes é:
A = -5 & -1 4 & -1
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 , que nos ajudarão a determinar a solução geral do sistema. Os autovalores det -5 - lambda & -1 4 & -1 - lambda = (-5 - lambda)(-1 - lambda) - (-1)(4) = 0 são encontrados resolvendo o determinante: