Resolva o sistema de equações diferenciais por eliminação ou por determinantes.
& f) l d xd t=-5 x-y d yd t=4 x-y x(1)=0, y(1)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais! Olha só o enunciado: temos duas equações que relacionam as derivadas de e com e mesmos. Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais Lineares. Para resolver, vamos usar o método de eliminação, que nos ajuda a simplificar o sistema e encontrar as funções e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais clara:
dxdt = -5x - y dydt = 4x - y
Nosso objetivo é encontrar e que satisfazem essas equações e as condições iniciais e .

Passo 3

Para resolver esse sistema, vamos transformar as equações diferenciais em uma forma matricial. Isso facilita o uso de determinantes e autovalores. Escrevemos o sistema como:
ddt x y = -5 & -1 4 & -1 x y
Aqui, a matriz dos coeficientes é:
A = -5 & -1 4 & -1

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 , que nos ajudarão a determinar a solução geral do sistema. Os autovalores det -5 - lambda & -1 4 & -1 - lambda = (-5 - lambda)(-1 - lambda) - (-1)(4) = 0 são encontrados resolvendo o determinante:
(5 + lambda)(1 + lambda) + 4 = 0 (5cdot1 + 5lambda + lambda + lambda^2) + 4 = 0 lambda^2 + 6lambda + 9 = 0
Calculando:
Simplificando:

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática lambda = -6 pm raiz36 - 362 = -62 = -3 :
Temos um autovalor repetido .

Passo 6

Com um autovalor repetido, a solução geral terá a forma:
x(t) = (C1 + C2 t) e^-3t y(t) = (C3 + C4 t) e^-3t
Mas para encontrar , precisamos relacionar as constantes usando o sistema original.

Passo 7

Voltando ao sistema original, usamos -5 + 3 & -1 4 & -1 + 3 v1 v2 = -2 & -1 4 & 2 v1 v2 = 0 0 para encontrar os vetores próprios. Resolvemos 1 -2 :
Isso resulta na equação , então . Escolhendo , temos .

Passo 8

Agora, a solução geral com o vetor próprio é:
x(t) y(t) = (C1 + C2 t) e^-3t 1 -2
Isso significa que:
x(t) = (C1 + C2 t) e^-3t y(t) = (-2C1 - 2C2 t) e^-3t

Passo 9

Aplicamos as condições iniciais 0 = (C1 + C2 cdot 1) e^-3 cdot 1 0 = C1 + C2 e 1 = (-2C1 - 2C2 cdot 1) e^-3 cdot 1 1 = (-2C1 - 2C2) e^-3 :
Para :
Para :

Passo 10

Da primeira equação, 1 = (-2(-C2) - 2C2) e^-3 1 = (2C2 - 2C2) e^-3 1 = 0 cdot e^-3 . Substituindo na segunda:
Ops, parece que houve um erro. Vamos revisar os cálculos.

Passo 11

Vamos reconsiderar a solução geral. Com um autovalor repetido, precisamos incluir um termo adicional. A solução correta é:
x(t) = (C1 + C2 t) e^-3t y(t) = (-2C1 + (-2C2 + C2) t) e^-3t = (-2C1 - C2 t) e^-3t
Agora, aplicamos as condições iniciais novamente.

Passo 12

Para 0 = (C1 + C2) e^-3 implies C1 + C2 = 0 implies C1 = -C2 :
1 = (-2C1 - C2 cdot 1) e^-3 1 = (-2(-C2) - C2) e^-3 1 = (2C2 - C2) e^-3 1 = C2 e^-3 implies C2 = e^3
Para :
Então, .

Passo 13

Substituindo x(t) = (-e^3 + e^3 t) e^-3t y(t) = (-2(-e^3) - e^3 t) e^-3t e x(t) = e^3(t - 1) e^-3t = (t - 1) e^-3(t - 1) y(t) = (2e^3 - e^3 t) e^-3t = (2 - t) e^-3(t - 1) na solução geral:
Simplificando:

Resposta

As soluções do sistema são:
x(t) = (t - 1) e^-3(t - 1)
y(t) = (2 - t) e^-3(t - 1)

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