Calcule a integral de superfície integral duplaS F cdot d S para o campo vetorial F e a superfície S. Em outras palavras, determine o fluxo de F através de S. Para superfícies fechadas, use a orientação positiva (para fora). F(x, y, z)=(0, y,-z), S é formada pelo parabolóide y=x^2+z^2, 0 <= y <= 1 e pelo disco x^2+z^2 <= 1, y=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de fluxo! O que temos aqui é uma integral de superfície para o campo vetorial sobre a superfície , que é composta por um parabolóide variando de e um disco no plano . Nosso objetivo é encontrar o fluxo de através de . Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência. Vamos precisar calcular a divergência de e então integrar isso sobre o volume limitado por .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o Teorema da Divergência, também conhecido como Teorema de Gauss. Esse teorema relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo dentro do volume limitado pela superfície. Em fórmula:
integral duplaS F cdot d S = integral triplaV (nabla cdot F) , dV
Ou seja, em vez de calcular a integral de superfície diretamente, podemos calcular a integral tripla da divergência de sobre o volume que delimita.

Passo 3

Vamos calcular a divergência de nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z . A divergência de um campo vetorial nabla cdot F = partial 0partial x + partial ypartial y + partial (-z)partial z = 0 + 1 - 1 = 0 é dada por:
Para o nosso campo , temos:

Passo 4

Como a divergência de integral triplaV (nabla cdot F) , dV = integral triplaV 0 , dV = 0 é zero, a integral tripla sobre o volume também será zero:
Pelo Teorema da Divergência, isso significa que o fluxo de através da superfície fechada também é zero.

Resposta

O fluxo de através da superfície é igual a zero.

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