Calcule a integral de superfície
para o campo vetorial
e a superfície
. Em outras palavras, determine o fluxo de
através de
. Para superfícies fechadas, use a orientação positiva (para fora).
é formada pelo parabolóide
e pelo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de fluxo! O que temos aqui é uma integral de superfície
para o campo vetorial
sobre a superfície
, que é composta por um parabolóide
variando de
e um disco
no plano
. Nosso objetivo é encontrar o fluxo de
através de
. Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência. Vamos precisar calcular a divergência de
e então integrar isso sobre o volume limitado por
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o Teorema da Divergência, também conhecido como Teorema de Gauss. Esse teorema relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo dentro do volume limitado pela superfície. Em fórmula:
Ou seja, em vez de calcular a integral de superfície diretamente, podemos calcular a integral tripla da divergência de
sobre o volume
que
delimita.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
Para o nosso campo
, temos:
Passo 4
Como a divergência de
é zero, a integral tripla sobre o volume
também será zero:
Pelo Teorema da Divergência, isso significa que o fluxo de
através da superfície fechada
também é zero.
Resposta
O fluxo de
através da superfície
é igual a zero.