Aplique a transformada de Laplace para resolver o sistema dado de
equações diferenciais.
dx/dt = -x + y; dy/dt = 2x; x(0) = 0, y(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver um sistema de equações diferenciais usando a transformada de Laplace. O que a gente tem aqui são duas equações que relacionam as derivadas de e . Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria das transformadas de Laplace, que ajuda a transformar equações diferenciais em equações algébricas mais fáceis de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambas as equações do sistema. Lembrando que a transformada de Laplace de uma derivada, como , é , onde é a transformada de .
Então, aplicando na primeira equação:
E na segunda equação:

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores iniciais e nas equações que obtivemos:

Passo 4

Vamos substituir na segunda equação:

Passo 5

Vamos fatorar o denominador de :
Então,
Para achar , vamos usar a decomposição em frações parciais:
Resolvendo para e :
Escolhendo :
Escolhendo :
Então,
Aplicando a transformada inversa de Laplace:

Passo 6

Agora que temos , vamos encontrar usando :
Distribuindo:
Simplificando cada fração:
Os termos constantes se cancelam:
Aplicando a transformada inversa de Laplace:

Resposta

As soluções do sistema são:

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