Mostre que e são soluções linearmente independentes desta equação, qualquer que seja . No entanto, , para todo .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem:
E nos diz que e são soluções dessa equação. Nosso objetivo é mostrar que essas soluções são linearmente independentes para qualquer , mas que o Wronskiano é igual a zero para todo .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma solução ser linearmente independente e como calcular o Wronskiano.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se e realmente satisfazem a equação diferencial dada. Isso envolve calcular as derivadas de e , substituir na equação e ver se iguala a zero.
Vamos começar com :
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Então, é de fato uma solução.
Agora, vamos verificar . Note que para e para . Mas para simplificação, vamos considerar (o caso segue de forma análoga).
Para :
Substituindo na equação diferencial:
Então, também é uma solução.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre linearidade. Duas funções são linearmente independentes se não houver constantes e , diferentes de zero, tais que para todo . Em outras palavras, nenhuma dessas funções pode ser escrita como múltiplo da outra.
Observando e , vemos que é igual a para e a para . Isso sugere que elas não são múltiplos constantes uma da outra em todo , o que indica que são linearmente independentes.
Passo 4
Agora, vamos calcular o Wronskiano . O Wronskiano é dado por:
Vamos calcular para e :
Para :
Então,
Para :
Então,
Resposta
Concluímos que e são soluções linearmente independentes da equação diferencial dada para qualquer . Entretanto, o Wronskiano para todo .