A equação do movimento de uma partícula é
S=3t^3-12t^2+9t+2
onde S é a medida em metros e t, em segundos. Pede-se:
a) Encontre a velocidade como uma função do tempo!
b) Encontre a aceleração como uma função do tempo!

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a equação do movimento de uma partícula:
Aqui, S representa a posição em metros e t o tempo em segundos. A matéria que vamos usar aqui é Cinemática, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar como a velocidade e a aceleração mudam com o tempo. Para resolver isso, vamos precisar derivar a função posição para achar a velocidade e depois derivar novamente para achar a aceleração.

Passo 2

Vamos começar encontrando a velocidade como função do tempo. Na cinemática, a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Isso significa que vamos derivar a função S(t) em relação a t.
A função dada é:
Vamos derivar termo por termo:
  • A derivada de é 9 t^2 (usamos a regra de potência: ).
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
  • A derivada de uma constante, como , é 0.
Então, somando tudo, a velocidade será:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração como função do tempo. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição.
Já temos:
Vamos derivar de novo termo por termo:
  • A derivada de 9 t^2 é .
  • A derivada de é .
  • A derivada de é 0.
Então, a aceleração fica:

Resposta

a) A velocidade como função do tempo é .
b) A aceleração como função do tempo é .

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