Questão 4 (1,0 pt) - Resolva a equação diferencial
, que satisfaça a condição
e determine o valor da constante
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial
e uma condição inicial
. Nosso objetivo é resolver essa equação diferencial e encontrar o valor da constante
. Para isso, vamos utilizar o método das equações diferenciais separáveis, que nos permite separar as variáveis y e x para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis y e x na equação. Isso significa que todos os termos com y ficarão de um lado e os termos com x do outro. Começamos com:
Multiplicando ambos os lados por y e por
, temos:
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados da equação. Vamos integrar em relação a y do lado esquerdo e em relação a x do lado direito:
A integral de
é:
E a integral de
é:
Passo 4
Igualando as integrais e simplificando as constantes (
), temos:
Para facilitar, vamos multiplicar tudo por 2:
Podemos reescrever isso como:
Passo 5
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar o valor de C. Substituindo x = 4 e y = -3 na equação:
Calculando os quadrados:
Passo 6
Resolvendo para C:
Resposta
A constante de integração
é
.