Questão 4 (1,0 pt) - Resolva a equação diferencial , que satisfaça a condição e determine o valor da constante .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial e uma condição inicial . Nosso objetivo é resolver essa equação diferencial e encontrar o valor da constante . Para isso, vamos utilizar o método das equações diferenciais separáveis, que nos permite separar as variáveis y e x para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis y e x na equação. Isso significa que todos os termos com y ficarão de um lado e os termos com x do outro. Começamos com:
Multiplicando ambos os lados por y e por , temos:

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados da equação. Vamos integrar em relação a y do lado esquerdo e em relação a x do lado direito:
A integral de é:
E a integral de é:

Passo 4

Igualando as integrais e simplificando as constantes ( ), temos:
Para facilitar, vamos multiplicar tudo por 2:
Podemos reescrever isso como:

Passo 5

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de C. Substituindo x = 4 e y = -3 na equação:
Calculando os quadrados:

Passo 6

Resolvendo para C:

Resposta

A constante de integração é .

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