Questão - Resolva a equação diferencial , que satisfaça a condição e determine o valor da constante .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo . A gente vai precisar usar técnicas de separação de variáveis, que é uma maneira de resolver equações diferenciais onde conseguimos separar as variáveis e em lados diferentes da equação. Além disso, vamos aplicar a condição inicial para encontrar a constante .

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis e . A ideia é colocar todos os termos com de um lado e os termos com do outro. Começamos multiplicando ambos os lados da equação por :

Passo 3

Agora, vamos reescrever essa expressão para facilitar a integração. Podemos escrever:
Dessa forma, temos os termos com de um lado e os termos com do outro.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados para encontrar a função em termos de :
A integração nos dá:
Onde é a constante de integração que precisamos determinar.

Passo 5

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo e na equação:
Simplificando:

Resposta

A constante vale .

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