Questão
- Resolva a equação diferencial
, que satisfaça a condição
e determine o valor da constante
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo
. A gente vai precisar usar técnicas de separação de variáveis, que é uma maneira de resolver equações diferenciais onde conseguimos separar as variáveis
e
em lados diferentes da equação. Além disso, vamos aplicar a condição inicial
para encontrar a constante
.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis
e
. A ideia é colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro. Começamos multiplicando ambos os lados da equação por
:
Passo 3
Agora, vamos reescrever essa expressão para facilitar a integração. Podemos escrever:
Dessa forma, temos os termos com
de um lado e os termos com
do outro.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados para encontrar a função
em termos de
:
A integração nos dá:
Onde
é a constante de integração que precisamos determinar.
Passo 5
Agora, vamos usar a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
na equação:
Simplificando:
Resposta
A constante
vale
.