Aplique a transformada de Laplace para resolver o sistema de EDO
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) usando a transformada de Laplace. A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática poderosa que ajuda a transformar equações no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a solução. Para resolver esse sistema, vamos precisar aplicar a transformada de Laplace nas equações, utilizar as propriedades das transformadas e resolver o sistema algébrico resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em cada equação do sistema. Lembrando que a transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Lf'(t) = sF(s) - f(0)
Lf''(t) = s^2F(s) - s f(0) - f'(0)
Onde é a transformada de Laplace de .
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace na primeira equação LX'' + LX' + LY' = 0 :
(s^2 X(s) - s x(0) - x'(0)) + (s X(s) - x(0)) + (s Y(s) - y(0)) = 0
Substituindo pelas fórmulas das derivadas:
(s^2 X(s) - s cdot 1 - 0) + (s X(s) - 1) + (s Y(s) - (-1)) = 0
Substituindo os valores iniciais s^2 X(s) - s + s X(s) - 1 + s Y(s) + 1 = 0 , (s^2 + s) X(s) + s Y(s) - s = 0 , :
Simplificando:
Passo 4
Agora, fazemos o mesmo para a segunda equação LY'' + LY' - 4LX' = 0 :
(s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)) + (s Y(s) - y(0)) - 4(s X(s) - x(0)) = 0
Substituindo pelas fórmulas das derivadas:
(s^2 Y(s) - s cdot (-1) - 5) + (s Y(s) - (-1)) - 4(s X(s) - 1) = 0
Substituindo os valores iniciais s^2 Y(s) + s - 5 + s Y(s) + 1 - 4s X(s) + 4 = 0 , s^2 Y(s) + s Y(s) - 4s X(s) + s + (-5 + 1 + 4) = 0 , (s^2 + s) Y(s) - 4s X(s) + s = 0 :
Simplificando:
Passo 5
Agora, temos um sistema de duas equações algébricas em (s^2 + s) X(s) + s Y(s) = s -4s X(s) + (s^2 + s) Y(s) = -s e :
Podemos representar isso em forma de matriz:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema usando o método de substituição ou eliminação. Vamos optar pela eliminação. Multiplicamos a primeira equação por 4(s^2 + s) X(s) - 4s X(s) + 4s Y(s) + (s^2 + s) Y(s) = 4s - s para facilitar a eliminação de [4(s^2 + s) - 4s] X(s) + [4s + (s^2 + s)] Y(s) = 3s :
4s^2 + 4s - 4s) X(s) + (4s + s^2 + s) Y(s) = 3s
4s^2 X(s) + (s^2 + 5s) Y(s) = 3s
Agora, somamos as duas equações:
Simplificando:
Passo 7
Agora, resolvemos para (s^2 + s) X(s) = s - s Y(s) :
Expressando X(s) = s - s Y(s)s^2 + s = s(1 - Y(s))s(s + 1) = 1 - Y(s)s + 1 da primeira equação: