Aplique a transformada de Laplace para resolver o sistema de EDO
& l X^prime prime+X^prime+Y^prime=0 Y^prime prime+Y^prime-4 X^prime=0 x(0)=1, x^prime(0)=0 y(0)=-1, y^prime(0)=5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) usando a transformada de Laplace. A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática poderosa que ajuda a transformar equações no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a solução. Para resolver esse sistema, vamos precisar aplicar a transformada de Laplace nas equações, utilizar as propriedades das transformadas e resolver o sistema algébrico resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em cada equação do sistema. Lembrando que a transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Lf'(t) = sF(s) - f(0)
Lf''(t) = s^2F(s) - s f(0) - f'(0)
Onde é a transformada de Laplace de .

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace na primeira equação LX'' + LX' + LY' = 0 :
(s^2 X(s) - s x(0) - x'(0)) + (s X(s) - x(0)) + (s Y(s) - y(0)) = 0
Substituindo pelas fórmulas das derivadas:
(s^2 X(s) - s cdot 1 - 0) + (s X(s) - 1) + (s Y(s) - (-1)) = 0
Substituindo os valores iniciais s^2 X(s) - s + s X(s) - 1 + s Y(s) + 1 = 0 , (s^2 + s) X(s) + s Y(s) - s = 0 , :
Simplificando:

Passo 4

Agora, fazemos o mesmo para a segunda equação LY'' + LY' - 4LX' = 0 :
(s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)) + (s Y(s) - y(0)) - 4(s X(s) - x(0)) = 0
Substituindo pelas fórmulas das derivadas:
(s^2 Y(s) - s cdot (-1) - 5) + (s Y(s) - (-1)) - 4(s X(s) - 1) = 0
Substituindo os valores iniciais s^2 Y(s) + s - 5 + s Y(s) + 1 - 4s X(s) + 4 = 0 , s^2 Y(s) + s Y(s) - 4s X(s) + s + (-5 + 1 + 4) = 0 , (s^2 + s) Y(s) - 4s X(s) + s = 0 :
Simplificando:

Passo 5

Agora, temos um sistema de duas equações algébricas em (s^2 + s) X(s) + s Y(s) = s -4s X(s) + (s^2 + s) Y(s) = -s e :
Podemos representar isso em forma de matriz:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema usando o método de substituição ou eliminação. Vamos optar pela eliminação. Multiplicamos a primeira equação por 4(s^2 + s) X(s) - 4s X(s) + 4s Y(s) + (s^2 + s) Y(s) = 4s - s para facilitar a eliminação de [4(s^2 + s) - 4s] X(s) + [4s + (s^2 + s)] Y(s) = 3s :
  1. 4s^2 + 4s - 4s) X(s) + (4s + s^2 + s) Y(s) = 3s
  2. 4s^2 X(s) + (s^2 + 5s) Y(s) = 3s
Agora, somamos as duas equações:
Simplificando:

Passo 7

Agora, resolvemos para (s^2 + s) X(s) = s - s Y(s) :
Expressando X(s) = s - s Y(s)s^2 + s = s(1 - Y(s))s(s + 1) = 1 - Y(s)s + 1 da primeira equação:
4s^2 cdot 1 - Y(s)s + 1 + (s^2 + 5s) Y(s) = 3s
4s^2 (1 - Y(s)) + (s^2 + 5s)(s + 1) Y(s) = 3s (s + 1)
Substituindo 4s^2 - 4s^2 Y(s) + (s^3 + s^2 + 5s^2 + 5s) Y(s) = 3s^2 + 3s na equação resultante do Passo 6:
4s^2 - 4s^2 Y(s) + (s^3 + 6s^2 + 5s) Y(s) = 3s^2 + 3s
Multiplicamos ambos os lados por 4s^2 + [ (s^3 + 6s^2 + 5s) - 4s^2 ] Y(s) = 3s^2 + 3s para eliminar o denominador:
4s^2 + (s^3 + 2s^2 + 5s) Y(s) = 3s^2 + 3s
Expandindo:
(s^3 + 2s^2 + 5s) Y(s) = 3s^2 + 3s - 4s^2
Simplificando os termos:
(s^3 + 2s^2 + 5s) Y(s) = -s^2 + 3s
Agrupando os termos com Y(s) = -s^2 + 3ss^3 + 2s^2 + 5s :
Isolando :

Passo 8

Simplificamos s^3 + 2s^2 + 5s = s(s^2 + 2s + 5) :
Primeiro, factoramos o denominador:
Y(s) = -s^2 + 3ss(s^2 + 2s + 5) = -s(s - 3)s(s^2 + 2s + 5) = -(s - 3)s^2 + 2s + 5
Então:

Passo 9

Agora, vamos simplificar Y(s) = -s + 3s^2 + 2s + 5 :
s^2 + 2s + 5 = (s + 1)^2 + 4
Completamos o quadrado no denominador:
Y(s) = -(s + 1) + 4(s + 1)^2 + 4 = -(s + 1)(s + 1)^2 + 4 + 4(s + 1)^2 + 4
Então:

Passo 10

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar L^-1 s + a(s + a)^2 + b^2 = e^-a t cos(bt) :
Sabemos que:
L^-1 b(s + a)^2 + b^2 = e^-a t sin(bt)
y(t) = -e^-t cos(2t) + 2 e^-t sin(2t)
Aplicando isso a :

Passo 11

Agora que temos X(s) = 1 - Y(s)s + 1 , vamos encontrar X(s) = 1 - -s + 3s^2 + 2s + 5s + 1 usando a expressão que obtivemos anteriormente:
X(s) = (s^2 + 2s + 5) - (-s + 3)(s + 1)(s^2 + 2s + 5) = s^2 + 3s + 2(s + 1)(s^2 + 2s + 5)
Substituindo :
Simplificando:

Passo 12

Agora, vamos decompor s^2 + 3s + 2 = (s + 1)(s + 2) em frações parciais:
Primeiro, fatoramos o numerador:
X(s) = (s + 1)(s + 2)(s + 1)(s^2 + 2s + 5) = s + 2s^2 + 2s + 5
Então:

Passo 13

Completamos o quadrado no denominador:
s^2 + 2s + 5 = (s + 1)^2 + 4
Então:
X(s) = (s + 1) + 1(s + 1)^2 + 4 = s + 1(s + 1)^2 + 4 + 1(s + 1)^2 + 4

Passo 14

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar L^-1 s + a(s + a)^2 + b^2 = e^-a t cos(bt) :
Usando as transformadas conhecidas:
L^-1 b(s + a)^2 + b^2 = e^-a t sin(bt)
x(t) = e^-t cos(2t) + 12 e^-t sin(2t)
Aplicando isso a :

Resposta

As soluções do sistema são:
x(t) = e^-t cos(2t) + 12 e^-t sin(2t)
y(t) = -e^-t cos(2t) + 2 e^-t sin(2t)

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