Aplique a transformada de Laplace para resolver o sistema de EDO

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) usando a transformada de Laplace. A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática poderosa que ajuda a transformar equações no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a solução. Para resolver esse sistema, vamos precisar aplicar a transformada de Laplace nas equações, utilizar as propriedades das transformadas e resolver o sistema algébrico resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em cada equação do sistema. Lembrando que a transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Onde é a transformada de Laplace de .

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace na primeira equação :
Substituindo pelas fórmulas das derivadas:
Substituindo os valores iniciais , , :
Simplificando:

Passo 4

Agora, fazemos o mesmo para a segunda equação :
Substituindo pelas fórmulas das derivadas:
Substituindo os valores iniciais , , :
Simplificando:

Passo 5

Agora, temos um sistema de duas equações algébricas em e :
Podemos representar isso em forma de matriz:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema usando o método de substituição ou eliminação. Vamos optar pela eliminação. Multiplicamos a primeira equação por para facilitar a eliminação de :
Agora, somamos as duas equações:
Simplificando:

Passo 7

Agora, resolvemos para :
Expressando da primeira equação:
Substituindo na equação resultante do Passo 6:
Multiplicamos ambos os lados por para eliminar o denominador:
Expandindo:
Simplificando os termos:
Agrupando os termos com :
Isolando :

Passo 8

Simplificamos :
Primeiro, factoramos o denominador:
Então:

Passo 9

Agora, vamos simplificar :
Completamos o quadrado no denominador:
Então:

Passo 10

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar :
Sabemos que:
Aplicando isso a :

Passo 11

Agora que temos , vamos encontrar usando a expressão que obtivemos anteriormente:
Substituindo :
Simplificando:

Passo 12

Agora, vamos decompor em frações parciais:
Primeiro, fatoramos o numerador:
Então:

Passo 13

Completamos o quadrado no denominador:
Então:

Passo 14

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar :
Usando as transformadas conhecidas:
Aplicando isso a :

Resposta

As soluções do sistema são:

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Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , dos gráficos das funções dadas:
Aplique a variação de parâmetros para resolver o sistema dado.
Em cada um dos casos abaixo, determine e esboce as curvas de nível das funções abaixo.
b)
Use a definição de limite para mostrar que:
c) .