Aplique a transformada de Laplace para resolver o sistema de EDO
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) usando a transformada de Laplace. A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática poderosa que ajuda a transformar equações no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a solução. Para resolver esse sistema, vamos precisar aplicar a transformada de Laplace nas equações, utilizar as propriedades das transformadas e resolver o sistema algébrico resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em cada equação do sistema. Lembrando que a transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Onde é a transformada de Laplace de .
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace na primeira equação :
Substituindo pelas fórmulas das derivadas:
Substituindo os valores iniciais , , :
Simplificando:
Passo 4
Agora, fazemos o mesmo para a segunda equação :
Substituindo pelas fórmulas das derivadas:
Substituindo os valores iniciais , , :
Simplificando:
Passo 5
Agora, temos um sistema de duas equações algébricas em e :
Podemos representar isso em forma de matriz:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema usando o método de substituição ou eliminação. Vamos optar pela eliminação. Multiplicamos a primeira equação por para facilitar a eliminação de :
Agora, somamos as duas equações:
Simplificando:
Passo 7
Agora, resolvemos para :
Expressando da primeira equação:
Substituindo na equação resultante do Passo 6:
Multiplicamos ambos os lados por para eliminar o denominador:
Expandindo:
Simplificando os termos:
Agrupando os termos com :
Isolando :
Passo 8
Simplificamos :
Primeiro, factoramos o denominador:
Então:
Passo 9
Agora, vamos simplificar :
Completamos o quadrado no denominador:
Então:
Passo 10
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar :
Sabemos que:
Aplicando isso a :
Passo 11
Agora que temos , vamos encontrar usando a expressão que obtivemos anteriormente:
Substituindo :
Simplificando:
Passo 12
Agora, vamos decompor em frações parciais:
Primeiro, fatoramos o numerador:
Então:
Passo 13
Completamos o quadrado no denominador:
Então:
Passo 14
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar :