Em cada um dos casos abaixo, determine e esboce as curvas de nível das funções abaixo.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar e esboçar as curvas de nível da função . Aqui, a matéria envolve curvas de nível, que são linhas no plano que mostram onde a função assume o mesmo valor. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são essas curvas e como encontrá-las para a função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que são curvas de nível. Imagine que você tem uma função que depende de duas variáveis, como . As curvas de nível são todas as combinações de e que fazem com que seja igual a um valor constante . Ou seja, para cada valor de , temos uma curva no plano que mostra onde a função tem esse valor.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa função . Para encontrar as curvas de nível, igualamos a função a uma constante :
Essa é a equação geral das curvas de nível para essa função. Cada valor diferente de vai gerar uma linha reta diferente no plano.
Passo 4
Vamos analisar um pouco mais essa equação . Podemos reescrevê-la na forma de uma equação de reta, isolando :
Isso mostra que todas as curvas de nível são linhas retas com coeficiente angular e coeficiente linear. Como o coeficiente angular é o mesmo para todas, as curvas de nível são linhas paralelas entre si, variando apenas o ponto em que cruzam o eixo dependendo de .
Resposta
As curvas de nível da função são linhas retas paralelas de equação , onde é uma constante. Cada linha tem a forma , todas com inclinação e interceptação no eixo variando conforme o valor de .