Em cada um dos casos abaixo, determine e esboce as curvas de nível das funções abaixo.
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar e esboçar as curvas de nível da função
. Aqui, a matéria envolve curvas de nível, que são linhas no plano que mostram onde a função assume o mesmo valor. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são essas curvas e como encontrá-las para a função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que são curvas de nível. Imagine que você tem uma função que depende de duas variáveis, como
. As curvas de nível são todas as combinações de
e
que fazem com que
seja igual a um valor constante
. Ou seja, para cada valor de
, temos uma curva no plano que mostra onde a função tem esse valor.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa função
. Para encontrar as curvas de nível, igualamos a função a uma constante
:
Essa é a equação geral das curvas de nível para essa função. Cada valor diferente de
vai gerar uma linha reta diferente no plano.
Passo 4
Vamos analisar um pouco mais essa equação
. Podemos reescrevê-la na forma de uma equação de reta, isolando
:
Isso mostra que todas as curvas de nível são linhas retas com coeficiente angular
e coeficiente linear
. Como o coeficiente angular é o mesmo para todas, as curvas de nível são linhas paralelas entre si, variando apenas o ponto em que cruzam o eixo
dependendo de
.
Resposta
As curvas de nível da função
são linhas retas paralelas de equação
, onde
é uma constante. Cada linha tem a forma
, todas com inclinação
e interceptação no eixo
variando conforme o valor de
.