Use a definição de limite para mostrar que:
c) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para usar a definição de limite e mostrar que:
Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos utilizar a definição formal de limite para funções de várias variáveis, que envolve os conceitos de e .

Passo 2

Primeiro, lembremos a definição de limite para funções de duas variáveis. Dizemos que:
Significa que para todo , existe um tal que sempre que a distância entre e for menor que , ou seja, , então a diferença será menor que .

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, queremos mostrar que:
Para todo , existe um tal que se , então:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto:

Passo 5

Agora, queremos que essa expressão seja menor que . Então:

Passo 6

Vamos manipular a expressão :
Sabemos que , então podemos escrever e , onde e são pequenos incrementos.
Substituindo na expressão:
Portanto,

Passo 7

Queremos que . Para simplificar, podemos assumir que e , então:

Passo 8

Então, escolhemos . Assim, sempre que , teremos:

Resposta

Assim, mostramos que:

Exercícios relacionados

Em cada um dos casos abaixo, determine e esboce as curvas de nível das funções abaixo.
b)
Aplique a transformada de Laplace para resolver o sistema de EDO
Calcule os limites de cada um dos itens abaixo.
c)
Calcule os limites de cada um dos itens abaixo.
r)