Use a definição de limite para mostrar que:
c) lim (x, y) (3,3) 4 x+6 y5=6.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para usar a definição de limite e mostrar que:
lim(x, y) (3,3) 4x + 6y5 = 6
Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos utilizar a definição formal de limite para funções de várias variáveis, que envolve os conceitos de epsilon e de.

Passo 2

Primeiro, lembremos a definição de limite para funções de duas variáveis. Dizemos que:
lim(x, y) (a,b) f(x, y) = L
Significa que para todo epsilon > 0, existe um de 0 tal que sempre que a distância entre (x, y) e (a, b) for menor que de, ou seja, raiz(x - a)^2 + (y - b)^2 < de, então a diferença lvert f(x, y) - L rvert será menor que epsilon.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, queremos mostrar que:
Para todo epsilon > 0, existe um de 0 tal que se raiz(x - 3)^2 + (y - 3)^2 < de, então:
| 4x + 6y5 - 6 | < epsilon

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto:
| 4x + 6y5 - 6 | = | 4x + 6y - 305 | = lvert 4x + 6y - 30 rvert5

Passo 5

Agora, queremos que essa expressão seja menor que epsilon. Então:
lvert 4x + 6y - 30 rvert5 < epsilon implies lvert 4x + 6y - 30 rvert < 5epsilon

Passo 6

Vamos manipular a expressão lvert 4x + 6y - 30 rvert:
Sabemos que (x, y) (3,3), então podemos escrever x = 3 + h e y = 3 + k, onde h e k são pequenos incrementos.
Substituindo na expressão:
4(3 + h) + 6(3 + k) - 30 = 12 + 4h + 18 + 6k - 30 = 4h + 6k
Portanto,
lvert 4x + 6y - 30 rvert = lvert 4h + 6k rvert <= 4|h| + 6|k|

Passo 7

Queremos que 4|h| + 6|k| < 5epsilon. Para simplificar, podemos assumir que |h| < de e |k| < de, então:
4de

Passo 8

Então, escolhemos de. Assim, sempre que raiz(x - 3)^2 + (y - 3)^2 < de, teremos:
lvert 4x + 6y5 - 6 rvert < epsilon

Resposta

Assim, mostramos que:
lim(x, y) (3,3) 4x + 6y5 = 6

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