Beleza, vamos resolver o exercício que pede para usar a definição de limite e mostrar que:
Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos utilizar a definição formal de limite para funções de várias variáveis, que envolve os conceitos de e .
Passo 2
Primeiro, lembremos a definição de limite para funções de duas variáveis. Dizemos que:
Significa que para todo , existe um tal que sempre que a distância entre e for menor que , ou seja, , então a diferença será menor que .
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso, queremos mostrar que:
Para todo , existe um tal que se , então:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto:
Passo 5
Agora, queremos que essa expressão seja menor que . Então:
Passo 6
Vamos manipular a expressão :
Sabemos que , então podemos escrever e , onde e são pequenos incrementos.
Substituindo na expressão:
Portanto,
Passo 7
Queremos que . Para simplificar, podemos assumir que e , então: