Aplique as transformadas integrais de Fourier para resolver o problema de contorno proposto. Faça hipóteses sobre a limitação quando necessário.
b)
Passo 1
Então, a gente tem uma equação diferencial parcial que descreve como uma função se comporta no espaço e no tempo. A equação é , válida para todo real e . Além disso, a gente sabe que inicialmente, em , a função é igual a e a derivada temporal em é igual a . Para resolver isso, vamos usar a transformada de Fourier, que ajuda a transformar a equação original em uma forma mais fácil de resolver no domínio da frequência.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Fourier na variável para ambos os lados da equação diferencial. A transformada de Fourier de uma função é definida por:
Isso transforma a equação diferencial original em uma equação algébrica em termos de .
Passo 3
Aplicando a transformada de Fourier na equação , temos:
Isso simplifica para:
Essa é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem em .
Passo 4
A solução geral dessa equação é uma combinação de funções seno e cosseno:
Aqui, e são funções que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar as condições iniciais transformadas:
Resolvendo para e :
Passo 6
Substituindo e na solução geral, temos:
Passo 7
Agora, para encontrar , aplicamos a transformada inversa de Fourier:
Isso nos dá a solu��ão no domínio espacial e temporal.
Resposta
A solução do problema de contorno usando a transformada de Fourier é: