Aplique as transformadas integrais de Fourier para resolver o problema de contorno proposto. Faça hipóteses sobre a limitação quando necessário.
b)
Passo 1
Então, a gente tem uma equação diferencial parcial que descreve como uma função se comporta no espaço e no tempo. A equação é , válida para todo real e . Além disso, a gente sabe que inicialmente, em , a função é igual a e a derivada temporal em é igual a . Para resolver isso, vamos usar a transformada de Fourier, que ajuda a transformar a equação original em uma forma mais fácil de resolver no domínio da frequência.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Fourier na variável u(k, t) = integral-infty^infty u(x, t) e^-ikx dx para ambos os lados da equação diferencial. A transformada de Fourier de uma função é definida por:
Isso transforma a equação diferencial original em uma equação algébrica em termos de .
Passo 3
Aplicando a transformada de Fourier na equação a^2 (-k^2) u(k, t) = partial^2 upartial t^2 , temos:
partial^2 upartial t^2 + a^2 k^2 u = 0
Isso simplifica para:
Essa é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem em .
Passo 4
A solução geral dessa equação é uma combinação de funções seno e cosseno:
u(k, t) = A(k) cos(a k t) + B(k) sin(a k t)
Aqui, e são funções que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar as condições iniciais transformadas:
u(k, 0) = f(k) = A(k)
partial upartial t|t=0 = a k B(k) = g(k)
Resolvendo para A(k) = f(k) e B(k) = g(k)a k :
Passo 6
Substituindo u(k, t) = f(k) cos(a k t) + g(k)a k sin(a k t) e na solução geral, temos:
Passo 7
Agora, para encontrar u(x, t) = 12pi integral-infty^infty [ f(k) cos(a k t) + g(k)a k sin(a k t) ] e^ikx dk , aplicamos a transformada inversa de Fourier:
Isso nos dá a solu��ão no domínio espacial e temporal.
Resposta
A solução do problema de contorno usando a transformada de Fourier é:
u(x, t) = 12pi integral-infty^infty [ f(k) cos(a k t) + g(k)a k sin(a k t) ] e^ikx dk