Aplique as transformadas integrais de Fourier para resolver o problema de contorno proposto. Faça hipóteses sobre a limitação quando necessário.
b)

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial parcial que descreve como uma função se comporta no espaço e no tempo. A equação é , válida para todo real e . Além disso, a gente sabe que inicialmente, em , a função é igual a e a derivada temporal em é igual a . Para resolver isso, vamos usar a transformada de Fourier, que ajuda a transformar a equação original em uma forma mais fácil de resolver no domínio da frequência.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Fourier na variável para ambos os lados da equação diferencial. A transformada de Fourier de uma função é definida por:
Isso transforma a equação diferencial original em uma equação algébrica em termos de .

Passo 3

Aplicando a transformada de Fourier na equação , temos:
Isso simplifica para:
Essa é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem em .

Passo 4

A solução geral dessa equação é uma combinação de funções seno e cosseno:
Aqui, e são funções que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar as condições iniciais transformadas:
Resolvendo para e :

Passo 6

Substituindo e na solução geral, temos:

Passo 7

Agora, para encontrar , aplicamos a transformada inversa de Fourier:
Isso nos dá a solu��ão no domínio espacial e temporal.

Resposta

A solução do problema de contorno usando a transformada de Fourier é:

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Resolva a equação diferencial dada, verificando que seja não exata.
(5) .
Resolva a equação diferencial dada, verificando que seja não exata.
(6) .
Classificar, quanto à ordem, o grau e a linearidade, as seguintes equações:
Mostre que o conjunto dado de funções é ortogonal no intervalo indicado. Ache a norma de cada função do conjunto.
d)