Mostre que o conjunto dado de funções é ortogonal no intervalo indicado. Ache a norma de cada função do conjunto.
d)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente mostrar que um certo conjunto de funções é ortogonal no intervalo [0, p] e também descobrir a norma de cada uma dessas funções. Isso está relacionado ao estudo de funções ortogonais na matemática, onde a gente precisa entender como essas funções se comportam umas em relação às outras nesse intervalo específico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser um conjunto de funções ortogonais. Duas funções são ortogonais em um intervalo se, ao multiplicarmos elas e integrarmos esse produto sobre o intervalo, o resultado for zero. Isso é bem parecido com vetores que são perpendiculares no espaço.

Passo 3

No nosso caso, as funções são da forma para . Para mostrar que são ortogonais, precisamos calcular a integral do produto de duas funções quaisquer desse conjunto e ver se dá zero quando os índices são diferentes.

Passo 4

Vamos calcular a integral , onde . Usando uma identidade trigonométrica, sabemos que isso vira:

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. As integrais de funções cosseno com frequências diferentes de zero no intervalo [0, p] serão zero, porque elas completam ciclos inteiros e se cancelam. Assim, a integral total dá zero quando , mostrando que as funções são ortogonais.

Passo 6

Para achar a norma de cada função, precisamos calcular . Primeiro, calculamos a integral:

Passo 7

Então, a norma de cada função é a raiz quadrada desse resultado:

Resposta

O conjunto é ortogonal no intervalo [0, p], e a norma de cada função do conjunto é .

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f)
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b)
c)
d)
e)