Mostre que o conjunto dado de funções é ortogonal no intervalo indicado. Ache a norma de cada função do conjunto.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente mostrar que um certo conjunto de funções é ortogonal no intervalo [0, p] e também descobrir a norma de cada uma dessas funções. Isso está relacionado ao estudo de funções ortogonais na matemática, onde a gente precisa entender como essas funções se comportam umas em relação às outras nesse intervalo específico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser um conjunto de funções ortogonais. Duas funções são ortogonais em um intervalo se, ao multiplicarmos elas e integrarmos esse produto sobre o intervalo, o resultado for zero. Isso é bem parecido com vetores que são perpendiculares no espaço.
Passo 3
No nosso caso, as funções são da forma para . Para mostrar que são ortogonais, precisamos calcular a integral do produto de duas funções quaisquer desse conjunto e ver se dá zero quando os índices são diferentes.
Passo 4
Vamos calcular a integral , onde . Usando uma identidade trigonométrica, sabemos que isso vira:
Passo 5
Agora, vamos integrar cada termo separadamente. As integrais de funções cosseno com frequências diferentes de zero no intervalo [0, p] serão zero, porque elas completam ciclos inteiros e se cancelam. Assim, a integral total dá zero quando , mostrando que as funções são ortogonais.
Passo 6
Para achar a norma de cada função, precisamos calcular . Primeiro, calculamos a integral:
Passo 7
Então, a norma de cada função é a raiz quadrada desse resultado:
Resposta
O conjunto é ortogonal no intervalo [0, p], e a norma de cada função do conjunto é .