Resolva a equação diferencial dada, verificando que seja não exata.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação diferencial e verificar se ela é não exata. A equação que temos é:
Vamos precisar entender sobre equações diferenciais exatas e como resolver quando elas não são.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial na forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
.
No nosso caso:
Vamos calcular as derivadas parciais.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
E a derivada parcial de
em relação a
:
Claramente,
. Isso significa que a equação não é exata.
Passo 4
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que a torne exata. Um método comum é procurar um fator integrante que depende apenas de
ou de
.
Vamos supor que o fator integrante
dependa apenas de
. O fator deve satisfazer:
Substituindo os valores que já temos:
Essa é uma equação diferencial para
. Vamos resolver.
Passo 5
A equação para
é:
Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral é:
Podemos escolher
para simplificar:
Passo 6
Multiplicando a equação original pelo fator integrante
:
Agora, a equação deve ser exata. Vamos verificar.
Passo 7
Definindo as novas funções:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é agora exata.
Passo 8
Para resolver a equação exata, encontramos uma função
tal que:
Integrando
em relação a
:
Vamos integrar termo a termo:
Então:
Agora derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Portanto:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.