Resolva a equação diferencial dada, verificando que seja não exata.
(6) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação diferencial e verificar se ela é não exata. A equação que temos é:
Vamos precisar entender sobre equações diferenciais exatas e como resolver quando elas não são.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial na forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a .
No nosso caso:
Vamos calcular as derivadas parciais.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
E a derivada parcial de em relação a :
Claramente, . Isso significa que a equação não é exata.

Passo 4

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que a torne exata. Um método comum é procurar um fator integrante que depende apenas de ou de .
Vamos supor que o fator integrante dependa apenas de . O fator deve satisfazer:
Substituindo os valores que já temos:
Essa é uma equação diferencial para . Vamos resolver.

Passo 5

A equação para é:
Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral é:
Podemos escolher para simplificar:

Passo 6

Multiplicando a equação original pelo fator integrante :
Agora, a equação deve ser exata. Vamos verificar.

Passo 7

Definindo as novas funções:
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é agora exata.

Passo 8

Para resolver a equação exata, encontramos uma função tal que:
Integrando em relação a :
Vamos integrar termo a termo:
Então:
Agora derivamos em relação a e igualamos a :
Portanto:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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(a) O tempo necessário para a barra chegar à temperatura de Rpt. .
(b) A temperatura da barra após 10 minutos.
Rpt. .
Resolva a equação diferencial dada, verificando que seja não exata.
(5) .
Aplique as transformadas integrais de Fourier para resolver o problema de contorno proposto. Faça hipóteses sobre a limitação quando necessário.
b)