Resolva a equação diferencial dada, verificando que seja não exata.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial:
. O objetivo é resolver essa equação e verificar se ela é não exata. Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação diferencial exata e como resolver aquelas que não são. Vamos dar um passo de cada vez!
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial do tipo
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Então, vamos identificar
e
na nossa equação:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata. Isso confirma o que o exercício pediu para verificar.
Passo 3
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que, ao multiplicarmos a equação por ele, vai tornar a equação exata. Existem métodos para encontrar esse fator, mas vamos escolher um caminho mais simples assumindo que o fator depende apenas de
ou de
.
Passo 4
Vamos supor que o fator integrante
depende apenas de
. Então, temos que:
Para que a nova equação seja exata, deve valer:
Calculando as derivadas:
Agora, reorganizando:
Essa é uma equação diferencial para
. Resolvendo:
Integrando ambos os lados:
Exponenciando:
Podemos escolher
para simplificar:
Passo 5
Agora, multiplicamos a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Agora, vamos verificar se está exata. Calculando as derivadas parciais:
Como são iguais, a equação agora é exata!
Passo 6
Para resolver a equação exata, encontramos uma função
tal que:
Integrando
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, então
, uma constante.
Portanto, a solução geral é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante.