Escreva a forma quadrática Q(h1, h2) associada à matriz simétrica A e classifique-a (positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida, negativa semidefinida):
(9.3) A = [[-3, 4], [4, -6]]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para escrever a forma quadrática associada à matriz simétrica e, depois, classificar essa forma quadrática como positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida ou negativa semidefinida. Para isso, vamos precisar entender como construir uma forma quadrática a partir de uma matriz e como analisá-la para classificá-la.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma forma quadrática. É uma expressão matemática onde temos termos do segundo grau das variáveis envolvidas. No nosso caso, as variáveis são e .
A forma quadrática associada a uma matriz simétrica é dada por:
Aqui, é o vetor e é o seu transposto.

Passo 3

Vamos calcular usando a matriz fornecida:
Primeiro, escrevemos o vetor :
Então, é:
Agora, multiplicamos pela matriz :
Por fim, multiplicamos o resultado pelo vetor :
Então, a forma quadrática é:

Passo 4

Agora que temos a forma quadrática, vamos classificá-la. Para isso, precisamos analisar a matriz para ver se ela é positiva definida, negativa definida, indefinida, etc.
Uma maneira de fazer isso é olhar os autovalores (valores próprios) da matriz . A classificação depende dos sinais desses valores.
Primeiro, vamos calcular os autovalores de . Para uma matriz , os autovalores podem ser encontrados resolvendo a equação característica:
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 5

Vamos calcular a determinante:
Então, a equação característica é:
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e .
Calculando o discriminante:
Então:
Os dois autovalores são:
Observamos que é aproximadamente 8.54, então:
Ambos os autovalores são negativos.

Passo 6

Como ambos os autovalores de são negativos, isso nos diz que a matriz é negativa definida. Isso significa que a forma quadrática sempre assume valores negativos, exceto no ponto onde todas as variáveis são zero.

Resposta

A forma quadrática associada à matriz é:
E ela é negativa definida.

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