Escreva a forma quadrática
associada à matriz simétrica
e classifique-a (positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida, negativa semidefinida):
(9.3)
(9.3)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para escrever a forma quadrática
associada à matriz simétrica
e, depois, classificar essa forma quadrática como positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida ou negativa semidefinida. Para isso, vamos precisar entender como construir uma forma quadrática a partir de uma matriz e como analisá-la para classificá-la.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma forma quadrática. É uma expressão matemática onde temos termos do segundo grau das variáveis envolvidas. No nosso caso, as variáveis são
e
.
A forma quadrática
associada a uma matriz simétrica
é dada por:
Aqui,
é o vetor
e
é o seu transposto.
Passo 3
Vamos calcular
usando a matriz
fornecida:
Primeiro, escrevemos o vetor
:
Então,
é:
Agora, multiplicamos
pela matriz
:
Por fim, multiplicamos o resultado pelo vetor
:
Então, a forma quadrática é:
Passo 4
Agora que temos a forma quadrática, vamos classificá-la. Para isso, precisamos analisar a matriz
para ver se ela é positiva definida, negativa definida, indefinida, etc.
Uma maneira de fazer isso é olhar os autovalores (valores próprios) da matriz
. A classificação depende dos sinais desses valores.
Primeiro, vamos calcular os autovalores de
. Para uma matriz
, os autovalores podem ser encontrados resolvendo a equação característica:
Onde
é a matriz identidade e
representa os autovalores.
Passo 5
Vamos calcular a determinante:
Então, a equação característica é:
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
.
Calculando o discriminante:
Então:
Os dois autovalores são:
Observamos que
é aproximadamente 8.54, então:
Ambos os autovalores são negativos.
Passo 6
Como ambos os autovalores de
são negativos, isso nos diz que a matriz é negativa definida. Isso significa que a forma quadrática
sempre assume valores negativos, exceto no ponto onde todas as variáveis são zero.
Resposta
A forma quadrática associada à matriz
é:
E ela é negativa definida.
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