Use o teste da integral para determinar se a série sumn=1^infty 1n^0,2 converge ou diverge. Certifique-se de que as condições do teste da integral sejam satisfeitas.

Passo 1

Então, temos a série sumn=1^infty 1n^0,2. A gente vai usar o Teste da Integral para descobrir se essa série converge ou diverge. O Teste da Integral é uma ferramenta de cálculo que compara uma série infinita com uma integral para ver se a série tem soma finita (converge) ou não (diverge). Para aplicar esse teste, precisamos verificar se a função correspondente é positiva, contínua e decrescente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que corresponde aos termos da série. Aqui, a função é f(x) = 1x^0,2. Simplificando o expoente, temos f(x) = x^-0,2.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função f(x) = x^-0,2 satisfaz as condições do Teste da Integral:
  1. Positiva: Para todo x >= 1, x^-0,2 é positivo porque qualquer potência de um número positivo é positiva.
  2. Contínua: A função f(x) é contínua para x > 0.
  3. Decrescente: Derivando f(x), temos f'(x) = -0,2x^-1,2. Como f'(x) < 0 para x > 0, a função é decrescente.
Como todas as condições são satisfeitas, podemos aplicar o Teste da Integral.

Passo 4

Vamos calcular a integral imprópria correspondente:
integral1^infty 1x^0,2 , dx = integral1^infty x^-0,2 , dx

Passo 5

Integrando x^-0,2, temos:
integral x^-0,2 , dx = x^1 - 0,21 - 0,2 + C = x^0,80,8 + C = 54x^0,8 + C

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite da integral quando o limite superior tende ao infinito:
limb to infty 54b^0,8 - 54(1)^0,8 = limb to infty 54b^0,8 - 54
À medida que b tende ao infinito, b^0,8 também tende ao infinito. Portanto, a integral diverge para o infinito.

Resposta

Como a integral diverge, pelo Teste da Integral, a série sumn=1^infty 1n^0,2 diverge.

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