Use o teste da integral para determinar se a série
converge ou diverge. Certifique-se de que as condições do teste da integral sejam satisfeitas.
Passo 1
Então, temos a série
. A gente vai usar o Teste da Integral para descobrir se essa série converge ou diverge. O Teste da Integral é uma ferramenta de cálculo que compara uma série infinita com uma integral para ver se a série tem soma finita (converge) ou não (diverge). Para aplicar esse teste, precisamos verificar se a função correspondente é positiva, contínua e decrescente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que corresponde aos termos da série. Aqui, a função é
. Simplificando o expoente, temos
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função
satisfaz as condições do Teste da Integral:
- Positiva: Para todo
, é positivo porque qualquer potência de um número positivo é positiva. - Contínua: A função
é contínua para . - Decrescente: Derivando
, temos . Como para , a função é decrescente.
Como todas as condições são satisfeitas, podemos aplicar o Teste da Integral.
Passo 4
Vamos calcular a integral imprópria correspondente:
Passo 5
Integrando
, temos:
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite da integral quando o limite superior tende ao infinito:
À medida que
tende ao infinito,
também tende ao infinito. Portanto, a integral diverge para o infinito.
Resposta
Como a integral diverge, pelo Teste da Integral, a série
diverge.
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(9.3)
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