Determine o limite
, se existir, ou mostre que esse limite não existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para determinarmos o limite de
quando
se aproxima de
. Isso está relacionado ao tema de limites em funções de várias variáveis. Para resolver, vamos analisar se o limite existe ou não, examinando diferentes caminhos para
se aproximarem de
.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar calcular o limite ao longo do eixo
, ou seja, quando
. Substituindo
na expressão, temos:
À medida que
se aproxima de 0,
tende a
ou
, dependendo da direção pela qual
se aproxima de 0.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite ao longo do eixo
, ou seja, quando
. Substituindo
na expressão, temos:
À medida que
se aproxima de 0,
também tende a
ou
, dependendo da direção pela qual
se aproxima de 0.
Passo 4
Observamos que, ao aproximar-se de
pelo eixo
e pelo eixo
, os limites não coincidem e, de fato, tendem a valores infinitos diferentes. Isso indica que o limite depende do caminho escolhido para se aproximar de
.
Passo 5
Para confirmar, vamos escolher outro caminho, por exemplo,
. Substituindo
na expressão, temos:
Aqui, o limite é 0, que é diferente dos limites anteriores que tenderam ao infinito.
Resposta
Como o limite depende do caminho escolhido para se aproximar de
e resulta em valores diferentes, o limite
não existe.