Determine o limite lim (x, y) (0,0) x-yx^2+y^2, se existir, ou mostre que esse limite não existe.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para determinarmos o limite de quando se aproxima de . Isso está relacionado ao tema de limites em funções de várias variáveis. Para resolver, vamos analisar se o limite existe ou não, examinando diferentes caminhos para se aproximarem de .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar calcular o limite ao longo do eixo x - 0x^2 + 0^2 = xx^2 = 1x , ou seja, quando . Substituindo na expressão, temos:
À medida que se aproxima de 0, tende a ou , dependendo da direção pela qual se aproxima de 0.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite ao longo do eixo 0 - y0^2 + y^2 = -yy^2 = -1y , ou seja, quando . Substituindo na expressão, temos:
À medida que se aproxima de 0, também tende a ou , dependendo da direção pela qual se aproxima de 0.

Passo 4

Observamos que, ao aproximar-se de pelo eixo e pelo eixo , os limites não coincidem e, de fato, tendem a valores infinitos diferentes. Isso indica que o limite depende do caminho escolhido para se aproximar de .

Passo 5

Para confirmar, vamos escolher outro caminho, por exemplo, x - xx^2 + x^2 = 02x^2 = 0 . Substituindo na expressão, temos:
Aqui, o limite é 0, que é diferente dos limites anteriores que tenderam ao infinito.

Resposta

Como o limite depende do caminho escolhido para se aproximar de e resulta em valores diferentes, o limite não existe.

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